**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 17**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z^2 + z + 2 = 0 \Rightarrow z \neq 0$ și $z + \frac{2}{z} = -1$ **2p**

$\left( z + \frac{2}{z} \right)^2 = 1$, deci $z^2 + 4 + \frac{4}{z^2} = 1$, de unde obținem $z^2 + \frac{4}{z^2} = -3$ **3p**

**2.** $f\left( x + \frac{1}{2} \right) = \left\{ 2 \left( x + \frac{1}{2} \right) \right\} = \{ 2x + 1 \} =$ **2p**

$= \{ 2x \} = f(x)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**3.** $3^x(3 - 1) = 2^{x+1}(2 - 1) \Leftrightarrow 2 \cdot 3^x = 2^{x+1} \Leftrightarrow 3^x = 2^x$ **3p**

$x = 0$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 23 de elemente, deci sunt 23 de cazuri posibile **2p**

Numerele $a$ din mulțimea $A$ astfel încât 3, 4 și $a$ să fie lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt $\sqrt{7}$ (dacă $a$ este lungimea unei catete) și $\sqrt{25}$ (dacă $a$ este lungimea ipotenuzei), deci sunt 2 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{2}{23}$ **1p**

**5.** $\vec{DM} = \vec{DA} + \vec{AM} = \vec{DA} + \frac{1}{4}\vec{AC} = \vec{DA} + \frac{1}{4}(\vec{AB} + \vec{AD}) = \frac{1}{4}(\vec{AB} - 3\vec{AD})$ **2p**

$\vec{DN} = \vec{DA} + \vec{AN} = \vec{DA} + \frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}(\vec{AB} - 3\vec{AD}) = \frac{4}{3}\vec{DM}$, deci $\vec{DM}$ și $\vec{DN}$ sunt coliniari, de unde obținem că punctele $D$, $M$ și $N$ sunt coliniare **3p**

**6.** $\frac{AB}{AC} + \frac{AC}{AB} = \frac{AB^2 + AC^2}{AB \cdot AC}$ **2p**

Cum $\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} < \frac{AB^2 + AC^2}{2AB \cdot AC}$, obținem $\cos A < \frac{1}{2} \left( \frac{AB}{AC} + \frac{AC}{AB} \right)$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(m)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2m + (-6) + 2 - m - (-3) - 8 =$ **3p**

$= m + 5 - 14 = m - 9$, pentru orice număr real $m$ **2p**

**b)** Sistemul de ecuații este omogen, deci admite soluții diferite de $(0,0,0) \Leftrightarrow \det(A(m)) = 0$ **3p**

$m = 9$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $A(9)=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 9 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}$, $\det(A(9))=0$ și $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 9 \end{vmatrix} \neq 0 \Rightarrow \text{rang}(A(9))=2$, deci soluțiile nenule ale sistemului de ecuații sunt de forma $\left( -\frac{7}{5}\alpha, \frac{1}{5}\alpha, \alpha \right)$, unde $\alpha \in \mathbb{R}^*$ **3p**

$\frac{x_0^2 + y_0^2 - z_0^2}{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2} = \frac{\frac{49\alpha^2}{25} + \frac{\alpha^2}{25} - \alpha^2}{\frac{49\alpha^2}{25} + \frac{\alpha^2}{25} + \alpha^2} = \frac{25\alpha^2}{75\alpha^2} = \frac{1}{3}$ **2p**

**2.a)** $2 * (-1) = 2 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) + 20 =$ **3p**

$= -2 + 10 + (-5) + 20 = 23$ **2p**

**b)** $x * (-4) = x \cdot (-4) + 5x + 5 \cdot (-4) + 20 = -4x + 5x + (-20) + 20 = x$, pentru orice număr întreg $x$ **3p**

$(-4) * x = (-4) \cdot x + 5 \cdot (-4) + 5x + 20 = -4x + (-20) + 5x + 20 = x$, pentru orice număr întreg $x$, deci $e = -4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** Cum $0 * 0 = 20$, $0 \in A(0)$ și $20 \notin A(0)$, mulțimea $A(0)$ nu este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **1p**

$x, y \in A(1) \Rightarrow x = 3m + 1$ și $y = 3n + 1$, unde $m, n \in \mathbb{N} \Rightarrow x * y = 9mn + 18m + 18n + 31 \in A(1)$, deci $A(1)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție „$*$”, deci $r = 1$ convine **2p**

$x, y \in A(2) \Rightarrow x = 3k + 2$ și $y = 3l + 2$, unde $k, l \in \mathbb{N} \Rightarrow x * y = 9kl + 21k + 21l + 44 \in A(2)$, deci $A(2)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție „$*$”, deci $r = 2$ convine **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x - e + (x - 1)e^x =$ **3p**

$= e^x - e + xe^x - e^x = xe^x - e, \ x \in (-1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1) = 0, \ f'(1) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = 0$ **3p**

**c)** $f''(x) = (x + 1)e^x > 0$, pentru orice $x \in (-1, +\infty) \Rightarrow f'$ strict crescătoare pe $(-1, +\infty)$ și, cum $f'(1) = 0$, obținem că $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (-1, 1)$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **3p**

Cum $f$ este strict descrescătoare pe $(-1, 1)$, $f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ și $f$ este continuă în $x_0 = 1$, obținem că $x_0 = 1$ este punctul de extrem al funcției $f$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{\ln(x+2)} dx = \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = \text{arctg } x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \text{arctg } 1 - \text{arctg } 0 = \frac{\pi}{4}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} = \text{Din regula lui l'Hospital, } \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+2)}{x^2+1} =$ **3p**

$= \ln 2$ **2p**

**c)** $\int_0^1 \left( f(x) + \frac{\text{arctg } x}{x+2} \right) dx = \int_0^1 \left( \frac{1}{x^2+1} \cdot \ln(x+2) + \text{arctg } x \cdot \frac{1}{x+2} \right) dx = \int_0^1 (\text{arctg } x \cdot \ln(x+2))' dx =$ **3p**

$= \text{arctg } x \cdot \ln(x+2) \bigg _0^1 = \text{arctg } 1 \cdot \ln 3 - \text{arctg } 0 \cdot \ln 2 = \frac{\pi}{4} \ln 3$ **2p**

***

Test 17