**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 16**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $-3 < -\sqrt{5} < -2$ și $2 < \sqrt{7} < 3$, deci $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ **3p**

Mulțimea $A$ are 5 elemente **2p**

**2.** Parabolele asociate celor două funcții au același vârf, deci $\frac{2}{2} = \frac{-2b}{-2}$ și $\frac{4a-4}{4} = \frac{4b^2+4}{4}$ **3p**

$b=1$, deci $a=3$ **2p**

**3.** $1+x+1-x+3 \cdot \sqrt[3]{1+x} \cdot \sqrt[3]{1-x} \left( \sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} \right) = 8$ și, cum $\sqrt[3]{1+x} + \sqrt[3]{1-x} = 2$, obținem **3p**

$2+6 \cdot \sqrt[3]{1+x} \cdot \sqrt[3]{1-x} = 8$

$\sqrt[3]{(1+x)(1-x)} = 1$, deci $x=0$, care convine **2p**

**4.** Numărul de submulțimi cu 2 elemente ale unei mulțimi cu $n$ elemente, $n \geq 2$, este egal cu $C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$ **2p**

$\frac{n(n-1)}{2} = 12 \Leftrightarrow n^2 - n - 24 = 0$, care nu are nicio soluție număr natural **3p**

**5.** $m_{AH} = 3$ și $m_{BC} = -\frac{1}{3} \Rightarrow m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$, deci $AH \perp BC$ **2p**

$m_{BH} = \frac{1}{2}$ și $m_{AC} = -2 \Rightarrow m_{BH} \cdot m_{AC} = -1$, deci $BH \perp AC$ și, cum $AH \cap BH = \{H\}$, obținem că $H$ este ortocentrul triunghiului $ABC$ **3p**

**6.** $2(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = -1$, deci $2(2\cos^2 x - 1) = -1$ **3p**

$\cos^2 x = \frac{1}{4}$ și, cum $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$, obținem $\cos x = \frac{1}{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 6 & 4 & 2 \\ 9 & 6 & 3 \end{vmatrix} = 36 + 36 + 36 - 36 - 36 - 36 =$ **3p**

$= 108 - 108 = 0$ **2p**

**b)** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 30 & 20 & 10 \\ 60 & 40 & 20 \\ 90 & 60 & 30 \end{pmatrix} = 10A \Rightarrow \left( I_3 - \frac{1}{11}A \right) \cdot B = I_3 + A - \frac{1}{11}A - \frac{1}{11}A \cdot A = I_3 + \frac{10}{11}A - \frac{10}{11}A = I_3$ **3p**

$B \cdot \left( I_3 - \frac{1}{11}A \right) = I_3 - \frac{1}{11}A + A - \frac{1}{11}A \cdot A = I_3 + \frac{10}{11}A - \frac{10}{11}A = I_3$, deci matricea $I_3 - \frac{1}{11}A$ este inversa matricei $B$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** Considerăm $U = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $V = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 6 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 9 & 6 & 4 \end{pmatrix}$, pentru care $\text{rang } U = 1$, $\text{rang } V = 1$ și $\text{rang } T = 1$ **3p**

Cum $U + V + T = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 2 \\ 9 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ și $B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 6 & 5 & 2 \\ 9 & 6 & 4 \end{pmatrix}$, obținem că matricele $U, V, T \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ au rangul $1$ și $U + V + T = B$ **2p**

**2.a)** $(-1) * 1 = (-1) \cdot 1 - 3 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 + a = a - 1$ **3p**

$a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1$ **2p**

**b)** Există $e \in \mathbb{R}$ astfel încât $x * e = e * x = x$, pentru orice număr real $x \Leftrightarrow xe - 3x - 3e + a = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x(e - 4) - 3e + a = 0$, pentru orice număr real $x \Leftrightarrow e = 4$ și $a = 12$ **3p**

**c)** $x * y = xy - 3x - 3y + 9 + a - 9 = (x - 3)(y - 3) + a - 9$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

Pentru orice $x, y \in [3, +\infty)$, $x - 3 \geq 0$ și $y - 3 \geq 0$ și, cum $a \in [12, +\infty)$, obținem $x * y \geq 3$, deci mulțimea $[3, +\infty)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea de compoziție „$*$” **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = (\sqrt{x+1})' - (\sqrt{x})' =$ **2p**

$= \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right), x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** $f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{1+1}} - \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2+1}} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 1 \right)$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{3}{2} + f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n) \right)^{\sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{3}{2} + \frac{1}{2\sqrt{n+1}} - \frac{1}{2} \right)^{\sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \right)^{\sqrt{n}} =$ **3p**

$= \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{n+1}} \right)^{2\sqrt{n+1}} \right)^{\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{n+1}}} = e^{\frac{1}{2}} = \sqrt{e}$

**c)** Pentru orice $x \in (0, +\infty)$, $\sqrt{x+1} > \sqrt{x} > 0$, deci $\frac{1}{\sqrt{x+1}} - \frac{1}{\sqrt{x}} < 0 \Rightarrow f'(x) < 0 \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(0, +\infty)$, deci $f$ este injectivă **2p**

$\lim_{x \to 0} f(x) = 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$, $f$ monotonă și continuă pe $(0, +\infty)$, deci $\text{Im } f = (0, 1) \Rightarrow f$ este surjectivă, de unde obținem că $f$ este bijectivă **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (x^4 + 1) f(x) dx = \int_0^1 x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ **2p**

**b)** $x \in [0, 1] \Rightarrow x^2 \leq x$, deci $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{x^2}{x^4 + 1} dx \leq \int_0^1 \frac{x}{x^4 + 1} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{(x^2)'}{(x^2)^2 + 1} dx = \left. \frac{1}{2} \text{arctg}(x^2) \right _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{2} \text{arctg } 1 - \frac{1}{2} \text{arctg } 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$ **2p**

***

c) $\int\limits_{0}^{1} F(x) dx = \int\limits_{0}^{1} x' F(x) dx = x F(x) \bigg _0^1 - \int\limits_{0}^{1} x f(x) dx = F(1) - \int\limits_{0}^{1} \frac{x^3}{x^4+1} dx =$ **3p**

$= -\frac{1}{4} \int\limits_{0}^{1} \frac{(x^4+1)'}{x^4+1} dx = -\frac{1}{4} \ln(x^4+1) \bigg _0^1 = -\frac{1}{4} \ln 2$ **2p**

***

Test 16