**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 15**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a+ib=3(a-ib) \Leftrightarrow 2a-4ib=0$, unde $z=a+ib$, $a,b \in \mathbb{R}$ **3p**

$a=0$ și $b=0$, deci $z=0$ **2p**

**2.** $f^2(2)=f(0)f(1) \Leftrightarrow (4+a)^2=a(2+a) \Leftrightarrow a^2+8a+16=a^2+2a$ **2p**

$6a=-16$, deci $a=-\frac{8}{3}$ **3p**

**3.** $-x=x^2-2x-2 \Rightarrow x^2-x-2=0$ **2p**

$x=-1$, care convine, sau $x=2$, care nu convine **3p**

**4.** Mulțimea $A=\{0,1,2, \dots, 9\}$ are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile **2p**

Numerele din mulțimea $A$ al căror pătrat aparține mulțimii $A$ sunt 0, 1, 2 și 3, deci sunt 4 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ **1p**

**5.** $\vec{AD}+\vec{CB}=\vec{AB}+\vec{BD}+\vec{CD}+\vec{DB}=$ **2p**

$=\vec{AB}+\vec{CD}+\vec{BD}-\vec{BD}=\vec{AB}+\vec{CD}=\vec{0}$ **3p**

**6.** $\frac{BC}{\sin A}=2R \Leftrightarrow \sin A = \frac{BC}{2R}$ **2p**

$BC=R \Rightarrow \sin A = \frac{1}{2}$ și, cum $\Delta ABC$ este ascuțitunghic, obținem $m(\sphericalangle A)=30^\circ$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1+0+0-0-0-0=$ **3p**

$=1-0=1$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**b)** $B(a) = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$B(a) \cdot B(a) \cdot B(a) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a^2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = O_3$, pentru orice număr real $a$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $A(1)+A(2)+\ldots+A(n)=\begin{pmatrix} n & \dfrac{n(n+1)}{2} & 0 \\ 0 & n & \dfrac{n(n+1)}{2} \\ 0 & 0 & n \end{pmatrix}$, pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum $\det A(2) \neq 0$, $(A(2))^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, obținem că $X = \begin{pmatrix} n & \dfrac{n(n+1)}{2}-2n & 4n-n(n+1) \\ 0 & n & \dfrac{n(n+1)}{2}-2n \\ 0 & 0 & n \end{pmatrix}$ **3p**

Suma elementelor matricei $X$ este egală cu $3n$, deci $3n=21 \Leftrightarrow n=7$, care convine **2p**

**2.a)** $1 * 2 = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 + 2^2 =$ **3p**

$= 1 + 8 + 4 = 13$ **2p**

**b)** $x * x = x^2 + 4x \cdot x + x^2 = 6x^2$, $(x * x) * x^2 = \left(6x^2\right) * x^2 = 36x^4 + 24x^4 + x^4 = 61x^4$ **3p**

$61x^4 = 61 \Leftrightarrow x = -1$ sau $x = 1$ **2p**

**c)** $x * 1 = x^2 + 4x + 1 = x^2 + 4x + 4 - 3 = (x+2)^2 - 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

De exemplu, pentru $a = \sqrt{p} - 2$, unde $p$ este număr prim, $p \geq 3$, obținem că $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ și $a * 1 = p - 3 \in \mathbb{N}$, deci există o infinitate de numere iraționale $a$ pentru care numărul $a * 1$ este natural **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \dfrac{1 \cdot \sqrt{x^2+3} - (x-3) \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}}{x^2+3} =$ **3p**

$= \dfrac{x^2+3-x^2+3x}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}} = \dfrac{3(x+1)}{(x^2+3)\sqrt{x^2+3}}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} (f(x))^x = \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x-3}{\sqrt{x^2+3}} \right)^x = \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{x^2-6x+9}{x^2+3} \right)^{\frac{x}{2}} = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \dfrac{6-6x}{x^2+3} \right)^{\frac{x}{2}} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \left[ \left( 1 + \dfrac{6-6x}{x^2+3} \right)^{\frac{x^2+3}{6-6x}} \right]^{\frac{x(6-6x)}{2(x^2+3)}} = \lim_{x \to +\infty} \left[ \left( 1 + \dfrac{6-6x}{x^2+3} \right)^{\frac{x^2+3}{6-6x}} \right]^{\frac{x^2\left(\frac{6}{x}-6\right)}{2x^2\left(1+\frac{3}{x^2}\right)}} = e^{-3}$ **2p**

**c)** $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -1]$ și $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [-1, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1, +\infty)$ și, cum $f(-1) = -2$, obținem că $f(x) \geq -2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$x-3 \geq -2\sqrt{x^2+3} \Leftrightarrow x+2\sqrt{x^2+3} \geq 3$, pentru orice număr real $x$, deci $x^5+2\sqrt{x^{10}+3} \geq 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**2.a)** $\int_1^3 (f(x) - \ln x) dx = \int_1^3 x^2 dx = \left. \dfrac{x^3}{3} \right _1^3 =$ **3p**

$= \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}$ **2p**

***

**b)** $\int\limits_{1}^{2}\left(f(x)-x^{2}\right) d x=\int\limits_{1}^{2} \ln x d x=\left.x \ln x\right _{1} ^{2}-\int\limits_{1}^{2} x \cdot \frac{1}{x} d x=$ **3p**

$=2 \ln 2-\left.x\right _{1} ^{2}=2 \ln 2-2+1=2 \ln 2-1$ **2p**

**c)** $\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x} f\left(\frac{1}{x}\right) d x=\int\limits_{1}^{2} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x^{2}}+\ln \frac{1}{x}\right) d x=\int\limits_{1}^{2}\left(x^{-3}-\frac{1}{x} \ln x\right) d x=\left.\left(\frac{x^{-2}}{-2}-\frac{1}{2} \ln ^{2} x\right)\right _{1} ^{2}=$ **3p**

$=-\frac{1}{8}-\frac{1}{2} \ln ^{2} 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \ln ^{2} 1=\frac{3}{8}-\frac{1}{2} \ln ^{2} 2=\frac{3-4 \ln ^{2} 2}{8}$ **2p**

***

Test 15