**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 14**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 5 \cdot (2 \log_5 3) = 2 =$ **3p**

$= \sqrt{2}^2$, deci numerele $\log_3 5$, $\sqrt{2}$ și $\log_5 9$ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice **2p**

**2.** $g(-x) = f(-x) - f(-(-x)) = f(-x) - f(x) =$ **2p**

$= -(f(x) - f(-x)) = -g(x)$, deci funcția $g$ este impară **3p**

**3.** $3^x + \frac{\sqrt{3}}{3^x} = 1 + \sqrt{3} \Leftrightarrow 3^{2x} - (1 + \sqrt{3}) \cdot 3^x + \sqrt{3} = 0$ **2p**

$(3^x - 1)(3^x - \sqrt{3}) = 0$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = \frac{1}{2}$ **3p**

**4.** $T_{k+1} = C_{20}^k (x^3)^{20-k} \left( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \right)^k = C_{20}^k x^{3(20-k) + \frac{-k}{3}} = C_{20}^k x^{60 - \frac{10k}{3}}$, unde $k \in \{0, 1, 2, \dots, 20\}$ **3p**

$60 - \frac{10k}{3} = 10 \Leftrightarrow k = 15$, deci $T_{16} = C_{20}^{15} x^{10}$ îl conține pe $x^{10}$ **2p**

**5.** $3\vec{AG} = \vec{AG} + \vec{GB} + \vec{AG} + \vec{GC} \Leftrightarrow 3\vec{AG} = 2\vec{AG} + \vec{GB} + \vec{GC}$ **2p**

$\vec{AG} - \vec{GB} - \vec{GC} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{AG} + \vec{BG} + \vec{CG} = \vec{0}$, deci $G$ este centrul de greutate al $\Delta ABC$ **3p**

**6.** $\sin x (2 \cos x - 3) - (2 \cos x - 3) = 0 \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2 \cos x - 3) = 0$ **2p**

Cum $2 \cos x - 3 \neq 0$ și $x \in (0, \pi)$, obținem $x = \frac{\pi}{2}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 + 0 + 0 - 1 - 0 - 1 =$ **3p**

$= 3 - 2 = 1$ **2p**

**b)** $\det(M(m)) = (m-1)^2$, pentru orice număr real $m$ **2p**

Dacă $m=1$, matricea $M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ are rangul 1, iar dacă $m \neq 1$, atunci $\det(M(m)) \neq 0$ și matricea $M(m)$ are rangul 3, deci, pentru orice număr real $m$, rangul matricei $M(m)$ este diferit de 2 **3p**

**c)** $M(m) \cdot A = I_3 \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2-m & m-1 & 0 \\ 2-m & 0 & m-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ **3p**

Obținem $m=2$, care convine **2p**

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $(1+i) \circ (2-i) = 1+i+2-i+(1+i)(2-i) =$ **3p**

$= 3+2-i+2i-i^2 = 6+i$ **2p**

**b)** Dacă $z=a+ib$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale, atunci $z \circ \bar{z} = a+ib+a-ib+(a+ib)(a-ib) =$ **3p**

$= 2a+a^2+b^2$, care este număr real, pentru orice număr complex $z$ **2p**

**c)** $2z+z^2 = -2 \Leftrightarrow z^2+2z+2=0$ **2p**

$\Delta = -4$, deci $z = -1-i$ sau $z = -1+i$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \cdot \frac{(2x-1)(x^2+x+1)-(2x+1)(x^2-x+1)}{(x^2+x+1)^2} =$ **3p**

$= \frac{2x^2-2}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} = \frac{2(x-1)(x+1)}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \ln \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1} = \lim_{x \to -\infty} \ln \frac{x^2\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \ln \frac{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} = \ln 1 = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=0$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f(1)+f(2)+\dots+f(n)+2\ln n = \ln \frac{1}{3} + \ln \frac{3}{7} + \ln \frac{7}{13} + \dots + \ln \frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} + 2\ln n =$

$= \ln \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{13} \cdot \dots \cdot \frac{n^2-n+1}{n^2+n+1} \right) + \ln(n^2) = \ln \frac{1}{n^2+n+1} + \ln(n^2) = \ln \frac{n^2}{n^2+n+1}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

$\lim_{n \to +\infty} (f(1)+f(2)+\dots+f(n)+2\ln n) = \lim_{n \to +\infty} \ln \frac{n^2}{n^2+n+1} = \ln 1 = 0$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 e^x f(x) dx = \int_0^1 (x^2+1) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(-x) dx = \int_0^1 (x^2+1)e^x dx = (x^2+1)e^x \bigg _0^1 - \int_0^1 2xe^x dx = 2e-1-2(x-1)e^x \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 2e-1-0+(-2) = 2e-3$ **2p**

**c)** $F$ este primitivă a lui $f \Rightarrow F'(x) = f(x) \Rightarrow -e^{-x}(-x^2+ax+b)+e^{-x}(-2x+a) = e^{-x}(x^2+1)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$x^2-(a+2)x+a-b = x^2+1$, pentru orice număr real $x \Leftrightarrow a = -2$ și $b = -3$ **3p**

***