**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 13**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $b_2 = b_1 q = 2q$ și $b_3 = b_1 q^2 = 2q^2$, unde $q$ este rația progresiei geometrice $(b_n)_{n \ge 1}$ **2p**

$q^2 - 4q + 4 = 0$, deci $q = 2$ **3p**

**2.** $A(f(1), 1)$ aparține graficului funcției $f \Leftrightarrow f(f(1)) = 1$ **2p**

$f(1) + m = 1 \Leftrightarrow 2m + 1 = 1$, deci $m = 0$ **3p**

**3.** $x^2 - 1 = \sqrt{x^2 - 1} \Rightarrow x^2 - 1 = 0$ sau $x^2 - 1 = 1$ **2p**

$x = -\sqrt{2}$, care nu convine, sau $x = -1$, care nu convine, sau $x = 1$, care nu convine, sau $x = \sqrt{2}$, care convine **3p**

**4.** $b^2 = c - a$, unde $\overline{abc}$ sunt numerele cu proprietatea dată și, cum $c \le 9$ și $a \ge 1$, obținem $b^2 \le 8$, deci $b \in \{0, 1, 2\}$ **2p**

Pentru $b = 0$, obținem $c = a$, deci sunt 9 numere, pentru $b = 1$, obținem $c = a + 1$, deci sunt 8 numere, iar pentru $b = 2$, obținem $c = a + 4$, deci sunt 5 numere; în total sunt 22 de numere cu proprietatea cerută **3p**

**5.** Panta dreptei $AH$ este $m_{AH} = \frac{1}{3}$ **2p**

$H$ este ortocentrul $\Delta ABC$, deci $AH \perp BC \Rightarrow m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$, de unde obținem $m_{BC} = -3$ **3p**

**6.** $\sin x - \cos x = \sqrt{2} \Rightarrow (\sin x - \cos x)^2 = 2 \Rightarrow \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 2$ **2p**

$2 \sin x \cos x = -1$, deci $\sin 2x = -1$ și, cum $x \in (0, \pi)$, obținem $2x = \frac{3\pi}{2}$, deci $x = \frac{3\pi}{4}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 1 - 0 - 1 - 0 = 0$ **3p**

**b)** $\det(A(m)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ m+1 & (m+1)^2 & 1 \end{vmatrix} = m(m-1)$, pentru orice număr real $m$ **2p**

Matricea $A(m)$ este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(m)) \neq 0$, deci $m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ **3p**

**c)** $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{1}{2} \Delta $, unde $\Delta = \begin{vmatrix} x_A & y_A & 1 \\ x_B & y_B & 1 \\ x_C & y_C & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ m+1 & (m+1)^2 & 1 \end{vmatrix} = m(m-1)$ **2p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = 1 \Leftrightarrow m(m-1) = 2$, deci $m^2 - m = -2$, care nu convine, sau $m^2 - m = 2$, de unde obținem $m = -1$ sau $m = 2$, care convin **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $x * 1 = 2^{\ln x \cdot \ln 1} =$ **3p**

$= 2^{\ln x \cdot 0} = 2^0 = 1$, pentru orice $x \in G$ **2p**

**b)** $x * f = x \Leftrightarrow 2^{\ln x \cdot \ln f} = x \Leftrightarrow \ln x \cdot \ln f \cdot \ln 2 = \ln x$, pentru orice $x \in G$, deci $\ln f \cdot \ln 2 = 1$, de unde obținem $\ln f = \frac{1}{\ln 2}$, deci $f = e^{\frac{1}{\ln 2}} \in G$ **3p**

$e^{\frac{1}{\ln 2}} * x = 2^{\ln e^{\frac{1}{\ln 2}} \cdot \ln x} = 2^{\frac{1}{\ln 2} \cdot \ln x} = x$, pentru orice $x \in G$, deci $f = e^{\frac{1}{\ln 2}}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** $x * \frac{1}{x} = 2^{\ln x \cdot \ln \frac{1}{x}} = 2^{-\ln^2 x}$, pentru orice $x \in G$ **2p**

$2^{-\ln^2 x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \ln^2 x = 1$, de unde obținem $\ln x = -1$ sau $\ln x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{e}$ sau $x = e$, care convin **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 - \frac{e^x + 1}{e^x + x - 1} =$ **3p**

$= \frac{e^x + x - 1 - e^x - 1}{e^x + x - 1} = \frac{x - 2}{e^x + x - 1}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \ln e^x - \ln(e^x + x - 1) \right) = \lim_{x \to +\infty} \ln \frac{e^x}{e^x + x - 1} =$ **2p**

$= \lim_{x \to +\infty} \ln \frac{1}{1 + \frac{x - 1}{e^x}} = \ln 1 = 0$, deci dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$, $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0, 2] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(0, 2]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [2, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$, $f(2) = 2 - \ln(e^2 + 1)$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ și $f$ este continuă pe $(0, +\infty)$, deci imaginea funcției $f$ este $[2 - \ln(e^2 + 1), +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) dx = \left( x + \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 + \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln 1 = 1 + \ln(1 + \sqrt{2})$ **2p**

**b)** $\int_{-1}^1 x f(x) dx = \int_{-1}^0 -x \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) dx + \int_0^1 x \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) dx = \left( -\frac{x^2}{2} - \sqrt{x^2 + 1} \right) \bigg _{-1}^0 + \left( \frac{x^2}{2} + \sqrt{x^2 + 1} \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 0 - 1 + \frac{1}{2} + \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \sqrt{2} - 1 = 2\sqrt{2} - 1$ **2p**

**c)** Din regula lui l'Hospital, $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \right) = 2$ **2p**

***