**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 12**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $N = 5 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} + 13 + 5 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} + 13 =$ **3p**

$= 36 = 6^2$ **2p**

**2.** $f(f(1)) + f(1) = 1 \Leftrightarrow f(1) + a + 1 + a = 1 \Leftrightarrow 3a + 2 = 1$ **3p**

$a = -\frac{1}{3}$ **2p**

**3.** $4^x + \frac{4}{4^x} = 4 \Leftrightarrow 4^{2x} - 4 \cdot 4^x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left(4^x - 2\right)^2 = 0$ **3p**

$2^{2x} = 2$, deci $x = \frac{1}{2}$ **2p**

**4.** Cifra sutelor se poate alege în 2 moduri și pentru fiecare alegere a cifrei sutelor, cifra zecilor se poate alege în 2 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei sutelor și a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege într-un singur mod, deci se pot forma $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ numere cu proprietatea cerută **3p**

**5.** $\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AD}$, unde $D$ este mijlocul segmentului $BC$ **2p**

$G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, deci $\vec{AG} = \frac{2}{3}\vec{AD}$ și, cum $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AG}$, obținem $6\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AC}$ **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{AB \cdot AC \cdot \sin A}{2}$, deci $\sin A = \frac{1}{2}$ **3p**

Cum $\Delta ABC$ este ascuțitunghic, obținem $m(\sphericalangle A) = 30^\circ$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 4 & 3 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + (-6) + 8 - 8 - 9 - 0 = -15$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ a+4 & a+3 & a \end{vmatrix} = -15(a+1)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Rangul matricei $A(a)$ nu este egal cu $3 \Leftrightarrow \det(A(a)) = 0$, deci $a = -1$ **3p**

**c)** $A(-1)A(-1) = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 2 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 5 & 10 & -5 \\ 10 & 0 & 0 \end{pmatrix} = 5B$, unde $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ **3p**

$M = 5^2 B \cdot B$ și, cum matricea $B \cdot B$ are toate elementele numere întregi, obținem că matricea $M$ are toate elementele numere întregi, divizibile cu 25 **2p**

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $x * (-x) = \sqrt[3]{x^3 + (-x)^3 + 2020} =$ **3p**

$= \sqrt[3]{x^3 - x^3 + 2020} = \sqrt[3]{2020}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**b)** $(x+1) * (-x) = \sqrt[3]{(x+1)^3 - x^3 + 2020} = \sqrt[3]{3x^2 + 3x + 2021}$, deci $3x^2 + 3x + 2021 = 2021$ **3p**

$3x(x+1) = 0$, deci $x = -1$ sau $x = 0$ **2p**

**c)** $\sqrt[3]{3x^3 + 4040} = a \Leftrightarrow 3x^3 + 4040 = a^3 \Leftrightarrow x^3 = \frac{a^3 - 4040}{3}$ **3p**

Pentru orice număr real $a$, ecuația $x^3 = \frac{a^3 - 4040}{3}$ are o singură soluție reală $x = \sqrt[3]{\frac{a^3 - 4040}{3}}$, deci există un unic număr real $x$ pentru care $x * x * x = a$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 =$ **3p**

$= 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x = 3$ **2p**

$f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, 1]$, $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1, 3] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1, 3]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [3, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[3, +\infty)$ **3p**

**c)** $f''(x) = 6x - 12$, $x \in \mathbb{R}$ **3p**

Cum $f''(x) \le 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 2]$, obținem că funcția $f$ este concavă pe $(-\infty, 2]$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 f(x) \cdot \sqrt{x^2 + 3x + 5} \, dx = \int\limits_0^1 (2x + 3) \, dx = (x^2 + 3x) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 + 3 - 0 = 4$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-4}^1 f(x) \, dx = \int\limits_{-4}^1 \frac{2x + 3}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}} \, dx = \int\limits_{-4}^1 \frac{(x^2 + 3x + 5)'}{\sqrt{x^2 + 3x + 5}} \, dx = 2\sqrt{x^2 + 3x + 5} \bigg _{-4}^1 =$ **3p**

$= 2\sqrt{9} - 2\sqrt{9} = 0$ **2p**

**c)** Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $(F(\sin x))' = F'(\sin x) \cdot (\sin x)' = f(\sin x) \cdot \cos x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x f(\sin x) \, dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} (F(\sin x))' \, dx = F(\sin x) \bigg _0^{\frac{\pi}{2}} = F(1) - F(0) = 2\sqrt{1^2 + 3 \cdot 1 + 5} - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}$ **2p**

***