**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 11**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{7}(\sqrt{6}+1)-\sqrt{6}(\sqrt{7}+1)=\sqrt{42}+\sqrt{7}-\sqrt{42}-\sqrt{6}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$ **2p**

Cum $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{\sqrt{7}^2-\sqrt{6}^2}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$, obținem că $\sqrt{7}(\sqrt{6}+1)-\sqrt{6}(\sqrt{7}+1)=\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$ **3p**

**2.** $f(x+1)-f(x)=(x+1)^2+(x+1)+1-\left(x^2+x+1\right)=$ **2p**

$=x^2+2x+1+x+1+1-x^2-x-1=2x+2=g(x)$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**3.** $x-1=x^2-2x-1 \Rightarrow x^2-3x=0$ **3p**

$x=0$, care nu convine, sau $x=3$, care convine **2p**

**4.** Numărul de submulțimi ale lui $M$, cu cel puțin trei elemente, este egal cu $C_5^3+C_5^4+C_5^5=$ **3p**

$=10+5+1=16$ **2p**

**5.** $M(-1,2)$, unde $M$ este mijlocul segmentului $AD$, $m_{AB}=1$ **3p**

Cum $MN$ este paralelă cu $AB$, ecuația dreptei $MN$ este $y-2=x+1$, deci $y=x+3$ **2p**

**6.** $4 \sin^2 x+4 \sin x \cos x+\cos^2 x=2+3 \sin^2 x \Leftrightarrow 4 \sin x \cos x=2-\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)$ **3p**

$2 \sin 2x=2-1$, deci $\sin 2x=\frac{1}{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & i & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0))=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & i & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=$ **2p**

$=-i+0+0-(-2i)-0-0=i$ **3p**

**b)** $\det(A(a))=\begin{vmatrix} 1 & a & 2 \\ a & i & a \\ -1 & a & -1 \end{vmatrix}=a^2+i$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Cum, pentru orice număr real $a$, $a^2+i \neq 0$, obținem că $\det(A(a)) \neq 0$, deci, pentru orice număr real $a$, matricea $A(a)$ este inversabilă **3p**

**c)** $A(0) \cdot A(0)=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & i^2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}=-I_3$ **2p**

$\underbrace{A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot \ldots \cdot A(0)}_{\text{de 2020 ori } A(0)}=\underbrace{(-I_3) \cdot (-I_3) \cdot (-I_3) \cdot \ldots \cdot (-I_3)}_{\text{de 1010 ori } (-I_3)}=I_3$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $x * 1 = 3^{x+1} - 3^{x+1} - 3^{1+1} + 12 =$ **3p**

$= -9 + 12 = 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**b)** $0 * x = 3^{0+x} - 3^{0+1} - 3^{x+1} + 12 = 3^x - 3^{x+1} + 9$, deci $3^{x+1} - 3^x = 18$ **3p**

$3^x(3-1) = 18 \Leftrightarrow 3^x = 9$, deci $x = 2$ **2p**

**c)** $x * y = 3 \Leftrightarrow 3^{x+y} - 3^{x+1} - 3^{y+1} + 9 = 0 \Leftrightarrow 3^x\left(3^y - 3\right) - 3\left(3^y - 3\right) = 0 \Leftrightarrow \left(3^x - 3\right)\left(3^y - 3\right) = 0$ **3p**

$3^x - 3 = 0$ sau $3^y - 3 = 0$, deci $x = 1$ sau $y = 1$, de unde obținem $(x-1)(y-1) = 0$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 2x - \dfrac{2x}{x^2+1} =$ **3p**

$= \dfrac{2x^3 + 2x - 2x}{x^2+1} = \dfrac{2x^3}{x^2+1}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în $A(a, f(a))$ este $y - f(a) = f'(a)(x - a)$, deci axa $Ox$, de ecuație $y = 0$, este tangentă la graficul funcției $f$ dacă și numai dacă există numărul real $a$ astfel încât $f'(a) = 0$ și $f(a) = 0$ **3p**

Cum $f'(0) = 0$ și $f(0) = 0$, obținem că axa $Ox$ este tangentă graficului funcției $f$ **2p**

**c)** $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$ și $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ **2p**

$f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (-\infty, 0) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0)$, $f(0) = 0$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, deci, pentru orice număr natural nenul $n$, ecuația $f(x) = n$ are două soluții reale distincte **3p**

**2.a)** $\displaystyle\int_1^e \dfrac{f(x)}{e^x} dx = \int_1^e \dfrac{1}{x} dx = \ln x \bigg _1^e =$ **3p**

$= \ln e - \ln 1 = 1$ **2p**

**b)** $\displaystyle\int_1^2 x^3 f\left(x^2\right) dx = \int_1^2 x e^{x^2} dx = \dfrac{1}{2} e^{x^2} \bigg _1^2 =$ **3p**

$= \dfrac{e^4 - e}{2} = \dfrac{e(e-1)\left(e^2 + e + 1\right)}{2}$ **2p**

**c)** $\displaystyle\int_1^e \dfrac{e^x}{x} dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx = \int_1^e (\ln x)' e^x \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx = e^x \ln x \bigg _1^e - \int_1^e e^x \ln x \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx =$ **3p**

$= e^e \ln e - e^1 \ln 1 = e^e$ **2p**

***