Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 10**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z = (3+2i)(3-2i) - (4-i) = 3^2 - (2i)^2 - 4 + i = 9 + i$ **2p**

Partea reală a numărului complex $z$ este egală cu $9$ **3p**

**2.** $g(2) = 1$ **2p**

$(f \circ g)(2) = f(g(2)) = 3 \cdot 1 + 2 = 5$ **3p**

**3.** $2^{\frac{6x}{3}} = 2^4 \Leftrightarrow 2x = 4$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are $900$ de elemente, deci sunt $900$ de cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au produsul cifrelor un număr impar are $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ de elemente, deci sunt $125$ de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{125}{900} = \frac{5}{36}$ **1p**

**5.** $ABCD$ este paralelogram, deci $\vec{v} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$ **2p**

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos(\sphericalangle ADC) \Rightarrow AC = 2\sqrt{19}$ **3p**

**6.** $BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow \Delta ABC$ este dreptunghic în $A$ **2p**

$AD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = 4,8$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= -3 + 0 + 2 - 4 - (-6) - 0 = 1$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = 3a - 2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Matricea $A(a)$ **nu** este inversabilă $\Leftrightarrow \det(A(a)) = 0$, deci $a = \frac{2}{3}$ **3p**

**c)** Dacă $a = \frac{2}{3}$, sistemul de ecuații este incompatibil **1p**

Dacă $a \neq \frac{2}{3}$, atunci $\det(A(a)) \neq 0$, deci sistemul de ecuații este compatibil determinat și, cum există $y_0$ și $z_0$ astfel încât $(2, y_0, z_0)$ este soluție a sistemului de ecuații, obținem $\frac{2(2a+1)}{3a-2} = 2$ **3p**

$a = 3$, care convine **1p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $2 * 64 = \sqrt[3]{2^{\log_2 64}} =$ **3p**

$= \sqrt[3]{2^6} = 2^2 = 4$ **2p**

**b)** $x * y = \sqrt[3]{x^{\log_2 y}} = x^{\frac{1}{3} \log_2 y} = \left( 2^{\log_2 x} \right)^{\frac{1}{3} \log_2 y} = 2^{\frac{1}{3} \log_2 x \log_2 y} =$ **2p**

$= 2^{\frac{1}{3} \log_2 y \log_2 x} = \left( 2^{\log_2 y} \right)^{\frac{1}{3} \log_2 x} = y^{\frac{1}{3} \log_2 x} = y * x$ , pentru orice $x, y \in G$ , deci legea de compoziție „$*$” este comutativă **3p**

**c)** $x * 8 = 8 * x = x$ , pentru orice $x \in G \Rightarrow e = 8$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **1p**

$x * x = 8 \Leftrightarrow x^{\log_2 x} = 8^3 \Leftrightarrow \log_2 x^{\log_2 x} = \log_2 \left( 8^3 \right) \Leftrightarrow \left( \log_2 x \right)^2 = 9$ **2p**

$\log_2 x = -3$ sau $\log_2 x = 3$ , deci $x = \frac{1}{8}$ sau $x = 8$ , care convin **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = (x-4)(x-3)(x-2) + (x-5)((x-4)(x-3)(x-2))'$ , $x \in \mathbb{R}$ **3p**

$f'(5) = (5-4)(5-3)(5-2) + 0 = 6$ **2p**

**b)** $\frac{f(n+1)-1}{f(n)-1} = \frac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)}{(n-5)(n-4)(n-3)(n-2)} = \frac{n-1}{n-5}$ , unde $n \in \mathbb{N}$ , $n \ge 6$ **2p**

$\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{f(n+1)-1}{f(n)-1} \right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{4}{n-5} \right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left[ \left( 1 + \frac{4}{n-5} \right)^{\frac{n-5}{4}} \right]^{\frac{4n}{n-5}} = e^4$ **3p**

**c)** $f(2) = f(3) = f(4) = f(5) = 1$ **2p**

$f$ este derivabilă, deci, conform teoremei lui Rolle pe $[2,3]$ , $[3,4]$ și $[4,5]$ , ecuația $f'(x) = 0$ are o soluție reală în fiecare dintre intervalele $(2,3)$ , $(3,4)$ și $(4,5)$ **3p**

**2.a)** $g(x) = \left( 1 + e^x \right) f(x) = 1 - e^x \Rightarrow \int g(x) dx = x - e^x + \mathcal{C} \Rightarrow G(x) = x - e^x + c$ , unde $c \in \mathbb{R}$ **3p**

$G(0) = 0$ , deci $c = 1$ , de unde obținem $G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $G(x) = x - e^x + 1$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{1-e^x}{1+e^x} dx = \int_0^1 \left( 1 - \frac{2e^x}{1+e^x} \right) dx = \left( x - 2 \ln(1+e^x) \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 - 2 \ln(1+e) + 2 \ln 2 = 1 + 2 \ln \frac{2}{e+1}$ **2p**

**c)** $\int_{-1}^1 f(x) \cos x dx = \int_1^{-1} f(-x) \cos(-x) \cdot (-1) dx = \int_{-1}^1 f(-x) \cos x dx = \int_{-1}^1 \frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}} \cos x dx =$

$= \int_{-1}^1 \frac{e^x-1}{e^x+1} \cos x dx = - \int_{-1}^1 \frac{1-e^x}{e^x+1} \cos x dx = - \int_{-1}^1 f(x) \cos x dx$ **3p**

$2 \int_{-1}^1 f(x) \cos x dx = 0$ , deci $\int_{-1}^1 f(x) \cos x dx = 0$ **2p**

***