Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 9**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}+\frac{1}{2^8} = 1 \cdot \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^9}{1-\frac{1}{2}} =$ **3p**

$= 2\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^9\right) < 2$ **2p**

**2.** $f(x)=0 \Leftrightarrow x^2+4x-5=0$ **2p**

Cum $\Delta > 0$, produsul absciselor punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$ este egal cu $-5$ **3p**

**3.** $3^{x-2}\left(3^2+1+3^4\right)=91 \Leftrightarrow 3^{x-2}=1$ **3p**

$x=2$ **2p**

**4.** $T_{k+1}=C_9^k\left(\sqrt{x}\right)^{9-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k = C_9^k x^{\frac{9-k}{2}+(-k)} = C_9^k x^{\frac{9-3k}{2}}$, unde $k \in \{0,1,2,\dots,9\}$ **3p**

$\frac{9-3k}{2}=0 \Leftrightarrow k=3$, deci $T_4=C_9^3=84$ nu îl conține pe $x$ **2p**

**5.** $G\left(\frac{-1+1+3}{3}, \frac{1+3+2}{3}\right)$, deci $G(1,2)$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ **3p**

Ecuația dreptei $OG$ este $y-0 = \frac{2-0}{1-0}(x-0)$, deci $y=2x$ **2p**

**6.** $\cos C = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$2R = \frac{AB}{\sin C} \Rightarrow 2R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, deci raza cercului circumscris triunghiului $ABC$ este $R = \sqrt{2}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 2+0+6-(-3)-4-0 = 7$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = 11-4a$, pentru orice număr întreg $a$ **2p**

Cum $\det(A(a))=0 \Leftrightarrow a = \frac{11}{4} \notin \mathbb{Z}$, obținem $\det(A(a)) \neq 0$, pentru orice număr întreg $a$, deci rangul matricei $A(a)$ este egal cu 3, pentru orice număr întreg $a$ **3p**

**c)** Pentru orice număr întreg $m$, $A(m)$ este inversabilă și $A^{-1}(m)$ are toate elementele numere întregi $\Leftrightarrow \det(A(m)) = -1$ sau $\det(A(m)) = 1$ **3p**

Cum $m$ este număr întreg, obținem $m=3$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.a)** $2 \circ 2 = \frac{2 \cdot 2}{2 + 2} =$ **3p**

$= \frac{4}{4} = 1$ **2p**

**b)** $x \circ y \circ z = \left( \frac{xy}{x + y} \right) \circ z = \frac{\frac{xy}{x + y} \cdot z}{\frac{xy}{x + y} + z} = \frac{xyz}{xy + xz + yz} =$ **3p**

$= \frac{1}{\frac{xy}{xyz} + \frac{xz}{xyz} + \frac{yz}{xyz}} = \frac{1}{z^{-1} + y^{-1} + x^{-1}} = \left( x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} \right)^{-1}$, pentru orice $x, y, z \in M$ **2p**

**c)** $\frac{1}{2} \circ \frac{1}{3} \circ \frac{1}{4} \circ \dots \circ \frac{1}{10} = \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} + \left( \frac{1}{3} \right)^{-1} + \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} + \dots + \left( \frac{1}{10} \right)^{-1} \right)^{-1} = (2 + 3 + 4 + \dots + 10)^{-1} =$ **3p**

$= \left( \frac{10 \cdot 11}{2} - 1 \right)^{-1} = 54^{-1} = \frac{1}{54}$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} =$ **3p**

$= \frac{x - 1 - (x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = -\frac{2}{x^2 - 1}, \ x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(1, +\infty)$, deci $f$ este injectivă **2p**

$f$ este continuă pe $(1, +\infty)$, $\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \Rightarrow f$ este surjectivă, deci $f$ este bijectivă **3p**

**c)** $\lim_{x \to +\infty} (x f(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left( x \ln \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right)^x =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \ln \left[ \left( 1 + \frac{2}{x - 1} \right)^{\frac{x - 1}{2}} \right]^{\frac{2x}{x - 1}} = \ln e^2 = 2$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x^2 - 3x + 2) dx = \left( \frac{x^3}{3} - 3 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 2 = \frac{5}{6}$ **2p**

**b)** $\int_1^e \frac{f(x)}{x} \ln x dx = \int_1^e (x - 3) \ln x dx + \int_1^e \frac{2}{x} \ln x dx = \left( \frac{x^2}{2} - 3x \right) \ln x \bigg _1^e - \int_1^e \left( \frac{x}{2} - 3 \right) dx + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \ln^2 x \bigg _1^e =$ **2p**

$= \frac{e^2}{2} - 3e - \left( \frac{x^2}{4} - 3x \right) \bigg _1^e + \ln^2 e - \ln^2 1 = \frac{e^2}{2} - 3e - \left( \frac{e^2}{4} - 3e - \frac{1}{4} + 3 \right) + 1 = \frac{e^2 - 7}{4}$ **3p**

**c)** $\int_1^a f(x) e^x dx = (x^2 - 3x + 2) e^x \bigg _1^a - \int_1^a (2x - 3) e^x dx = (x^2 - 5x + 7) e^x \bigg _1^a = (a^2 - 5a + 7) e^a - 3e$ **3p**

$(a^2 - 5a + 7) e^a - 3e = e^a - 3e \Leftrightarrow a^2 - 5a + 6 = 0$, deci $a = 2$ sau $a = 3$, care convin **2p**