Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 8**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $A=\{0,1,2\}$ **3p**

Suma elementelor mulțimii $A$ este egală cu $0+1+2=3$ **2p**

**2.** $f(1)=m+n$ și $f(2)=2m+n$, deci $m+n=2$ și $2m+n=1$ **2p**

$m=-1$, $n=3$ **3p**

**3.** $(4^x+4)(4^x-2)=0$ **2p**

$2^{2x}=2$, deci $x=\frac{1}{2}$ **3p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de trei cifre are 900 de elemente, deci sunt 900 de cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de trei cifre care au cifra sutelor un număr prim are $4 \cdot 10 \cdot 10 = 400$ de elemente, deci sunt 400 de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{400}{900} = \frac{4}{9}$ **1p**

**5.** $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului $ABCD \Rightarrow \vec{OC} = -\vec{OA}$ **3p**

$\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$ **2p**

**6.** $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ **3p**

Cum $x \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$, obținem $\sin x = -\frac{3}{5}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} =$ **3p**

$= 0 + 3 + 0 - 0 - (-2) + 0 = 5$ **2p**

**b)** $\det(A(a)) = a^2 - 6a + 5$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Sistemul de ecuații este compatibil determinat $\Leftrightarrow \det(A(a)) \neq 0$, deci $a \in \mathbb{R} \setminus \{1,5\}$ **3p**

**c)** Sistemul are soluție unică $(x_0, y_0, z_0)$, deci $a \in \mathbb{R} \setminus \{1,5\}$ și soluția sistemului este $\left( \frac{2(a-1)}{a-5}, \frac{2}{a-5}, \frac{a+1}{a-5} \right)$ **3p**

$2 \cdot \left( -\frac{2}{a-5} \right) = \frac{2(a-1)}{a-5} + \left( -\frac{a+1}{a-5} \right)$, deci $a = -1$, care convine **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $1 * 3 = 1 + 3 - \frac{1 \cdot 3}{3} =$ **3p**

$= 1 + 3 - 1 = 3$ **2p**

**b)** $x * x = -\frac{1}{3}(x - 3)^2 + 3$, $x * x * x = \frac{1}{3^2}(x - 3)^3 + 3$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{1}{9}(x - 3)^3 + 3 = \frac{26}{9} \Leftrightarrow (x - 3)^3 = -1 \Leftrightarrow x - 3 = -1$, de unde obținem $x = 2$ **3p**

**c)** $x * 0 = 0 * x = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **1p**

$n * n' = 0 \Leftrightarrow n'(n - 3) = 3n$, deci $n' = \frac{3n}{n - 3}$, pentru orice număr natural $n$, $n \neq 3$ **2p**

Cum $n$ și $n'$ sunt numere naturale, obținem $n = 0$, $n = 4$, $n = 6$ sau $n = 12$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 4x^3 - \frac{4}{x} =$ **3p**

$= \frac{4(x^4 - 1)}{x} = \frac{4(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x} = \frac{4(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^4 - 4 \ln x) = +\infty$ **3p**

Dreapta de ecuație $x = 0$ este asimptotă verticală la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$, $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (0, 1) \Rightarrow f$ este strict descrescătoare pe $(0, 1)$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$, $f(1) = 1$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă pe $(0, +\infty)$, deci pentru fiecare număr natural $n$, $n \geq 2$, ecuația $f(x) - n = 0$ are două soluții reale distincte, $x_1 \in (0, 1)$ și $x_2 \in (1, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^2 f(x) e^{-x} dx = \int_0^2 x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right _0^2 =$ **3p**

$= 4 - 0 = 4$ **2p**

**b)** $\int_1^e \frac{1}{x^2} f(\ln x) dx = \int_1^e \frac{1}{x} \ln^3 x dx = \left. \frac{\ln^4 x}{4} \right _1^e =$ **3p**

$= \frac{\ln^4 e}{4} - \frac{\ln^4 1}{4} = \frac{1}{4}$ **2p**

**c)** $F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + c$, $c \in \mathbb{R}$ și, cum $F(0) = 0 \Rightarrow F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + 6$ **2p**

$\int_0^1 f(x) F(x) dx = \int_0^1 F'(x) F(x) dx = \left. \frac{1}{2} F^2(x) \right _0^1 = \frac{1}{2} (F^2(1) - F^2(0)) = 2(e - 3)^2$ **3p**

***