Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 7**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $0 < \sqrt{2}-1 < 1 \Rightarrow 0 < \left(\sqrt{2}-1\right)^2 < 1$ **3p**

Partea întreagă a numărului real $x$ este $0$ **2p**

**2.** $f(x)=y \Leftrightarrow x^2-2x=2x-3 \Leftrightarrow x^2-4x+3=0$ **3p**

$x=1$ sau $x=3$ **2p**

**3.** $4^{x-2}=4^{2x-7} \Leftrightarrow x-2=2x-7$ **3p**

$x=5$ **2p**

**4.** Numărul submulțimilor cu trei elemente ale mulțimii $A$ este egal cu $C_{10}^3 =$ **3p**

$= \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120$ **2p**

**5.** $\vec{AC}=2\vec{AB} \Leftrightarrow B$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $2 = \frac{1+x_C}{2}$ și $5 = \frac{3+y_C}{2}$ **3p**

$x_C=3$ și $y_C=7$ **2p**

**6.** $\cos(\sphericalangle BAC) = \frac{1}{2}$ și $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\sphericalangle BAC)$, deci $BC = \sqrt{7}$ **3p**

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 5 + \sqrt{7}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 0 - 3 - (-4) - 0 = 1$ **3p**

**b)** $\det(A(a)) = a^2 - 3$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Pentru orice număr rațional $q$, $\det(A(q)) \neq 0$, deci matricea $A(q)$ este inversabilă **3p**

**c)** Pentru orice număr rațional $p$, $B(p) = 2\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & p \\ -1 & -p & 0 \end{pmatrix}$, $B(p)B(p) = -4\begin{pmatrix} 1 & p & 0 \\ p & p^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1+p^2 \end{pmatrix}$ **3p**

și $B(p)B(p)B(p) = -4(p^2+1)B(p)$

$(1-4p^2)B(p) = O_3 \Leftrightarrow p = -\frac{1}{2}$ sau $p = \frac{1}{2}$, care convin **2p**

**2.a)** $\frac{1}{3} * \frac{1}{3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}}{2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} + 1} =$ **3p**

$= \frac{1/9}{2/9 - 2/3 + 1} = \frac{1}{5}$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**b)** $x * \frac{1}{2} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}}{2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} - x - \frac{1}{2} + 1} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = x$, pentru orice $x \in G$ **2p**

$\frac{1}{2} * x = \frac{\frac{1}{2} \cdot x}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x - \frac{1}{2} - x + 1} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = x = x * \frac{1}{2}$, pentru orice $x \in G$ și, cum $\frac{1}{2} \in G$, obținem că **3p**

$e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”

**c)** $f(x * y) = \frac{2xy - x - y + 1}{xy} - 1 = \frac{xy - x - y + 1}{xy} = \frac{(x-1)(y-1)}{xy} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{y-1}{y} = f(x)f(y)$, **3p**

pentru orice $x, y \in G$, deci $f$ este un morfism de la grupul $(G, *)$ la grupul $(M, \cdot)$

$f$ este continuă, $f$ este strict descrescătoare pe $(0,1)$, $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = +\infty$ și $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 0$, **2p**

deci $f$ este bijectivă $\Rightarrow f$ este un izomorfism de la grupul $(G, *)$ la grupul $(M, \cdot)$

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = x' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)' =$ **2p**

$= \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \ln x$, $x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în $M(m, f(m))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = 2x \Leftrightarrow f'(m) = 2$ **2p**

$1 + \ln m = 2 \Rightarrow m = e$, care convine **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{e}$, $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in \left(0, \frac{1}{e}\right) \Rightarrow f$ strict descrescătoare pe $\left(0, \frac{1}{e}\right]$ și

$f'(x) > 0$, pentru orice $x \in \left(\frac{1}{e}, +\infty\right) \Rightarrow f$ strict crescătoare pe $\left[\frac{1}{e}, +\infty\right)$, deci $f(x) \geq f\left(\frac{1}{e}\right)$, **3p**

pentru orice $x \in (0, +\infty)$

$x \ln x \geq -\frac{1}{e}$, deci $x \ln x + \frac{1}{e} \geq 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x f(x) dx = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x \bigg _0^{\frac{\pi}{2}} =$ **3p**

$= \frac{1}{2}(1 - 0) = \frac{1}{2}$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^x f(t) dt = \int\limits_0^x \cos t dt = \sin t \bigg _0^x = \sin x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int\limits_0^x f(t) dt = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \cdot \sin x = 0$ **3p**

**c)** $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, $0 \leq \cos x \leq 1 \Rightarrow 0 \leq \cos^n x \leq 1 \Rightarrow I_{n+1} - I_n = \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x (\cos x - 1) dx \leq 0 \Rightarrow I_{n+1} \leq I_n$, **2p**

pentru orice număr natural nenul $n$, deci șirul $(I_n)_{n \geq 1}$ e descrescător

$x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \Rightarrow \cos^n x \geq 0 \Rightarrow I_n \geq 0$, pentru orice număr natural nenul $n$, deci șirul $(I_n)_{n \geq 1}$ este **3p**

mărginit inferior, de unde obținem că șirul $(I_n)_{n \geq 1}$ este convergent

***