Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 6**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z=1+2i\sqrt{3}+3i^2-\left(1-2i\sqrt{3}+3i^2\right)=4i\sqrt{3}$ **3p**

Partea reală a lui $z$ este $0$ **2p**

**2.** $f(3)<0$, $f(4)<0$, $f(5)<0$ **2p**

$f(0)>0$, $f(1)>0$ și $f(2)>0$, deci $f(0) \cdot f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4) \cdot f(5) < 0$ **3p**

**3.** $\left(\log_2 x - 1\right)^2 = 0 \Rightarrow \log_2 x = 1$ **3p**

$x=2$, care convine **2p**

**4.** Numărul de submulțimi cu 3 elemente ale lui $A$, care conțin exact 2 numere impare este egal cu $C_5^2 \cdot C_5^1 =$ **3p**

$= \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot 5 = 50$ **2p**

**5.** $\vec{OM} + \vec{ON} + \vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AM} + \vec{OB} + \vec{BN} + \vec{OC} + \vec{CP} = \vec{OA} + 2\vec{AB} + \vec{OB} + 2\vec{BC} + \vec{OC} + 2\vec{CA} =$ **3p**

$= \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + 2\left(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}\right) = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ **2p**

**6.** $1-2\sin^2 x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sin^2 x = \frac{1}{3}$ **3p**

Cum $x \in (\pi, 2\pi)$, obținem $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 10 + 6 + 4 - 4 - 4 - 15 = -3$ **3p**

**b)** Sistemul de ecuații devine $\begin{cases} 2x - y + 2z = 4 \\ 3x - y + 2z = 1 \\ 2x - y + 5z = -2 \end{cases}$ și, cum $\det(A(-1)) = 3 \neq 0$, sistemul de ecuații este compatibil determinat **2p**

$x = -3$, $y = -14$, $z = -2$ **3p**

**c)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & a & 2 \\ 3 & a & 2 \\ 2 & a & 5 \end{vmatrix} = a \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = -3a$, pentru orice număr real $a$ și, cum $\det(A(a)) = 0$, obținem $a = 0$ **2p**

$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$ și $\begin{vmatrix} 2 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & b \end{vmatrix} = 0$, deci $38 - 2b = 0$, de unde obținem $b = 19$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

**2.a)** $x * y = \sqrt{x^2 y^2 - x^2 - y^2 + 1 + 1} =$ **3p**

$= \sqrt{x^2 \left(y^2 - 1\right) - \left(y^2 - 1\right) + 1} = \sqrt{\left(x^2 - 1\right)\left(y^2 - 1\right) + 1}$, pentru orice $x, y \in G$ **2p**

**b)** $x * e = x \Leftrightarrow \sqrt{\left(x^2 - 1\right)\left(e^2 - 1\right) + 1} = x \Leftrightarrow \left(x^2 - 1\right)\left(e^2 - 1\right) = x^2 - 1$, pentru orice $x \in G$, deci $e^2 - 1 = 1$ și, cum $e \in G$, obținem $e = \sqrt{2}$ **3p**

Cum $\sqrt{2} * x = \sqrt{\left(2 - 1\right)\left(x^2 - 1\right) + 1} = \sqrt{x^2} = x$, pentru orice $x \in G$, obținem că $e = \sqrt{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **2p**

**c)** $f(x) * f(y) = \sqrt{\left(f^2(x) - 1\right)\left(f^2(y) - 1\right) + 1} = \sqrt{(x + 1 - 1)(y + 1 - 1) + 1} = \sqrt{xy + 1} = f(xy)$, pentru orice $x, y \in M$, deci $f$ este un morfism de la grupul $(M, \cdot)$ la grupul $(G, *)$ **3p**

$f$ este continuă, $f$ este strict crescătoare pe $(0, +\infty)$, $\lim_{x \to 0} f(x) = 1$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, deci $f$ este bijectivă $\Rightarrow f$ este un izomorfism de la grupul $(M, \cdot)$ la grupul $(G, *)$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + (x + 1) e^{-x} \cdot (-1) =$ **3p**

$= (1 - (x + 1)) e^{-x} = -x e^{-x}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\frac{(f(n))^n}{e^n (f(n + 1))^n} = \left( \frac{(n + 1) e^{-n}}{e (n + 2) e^{-(n+1)}} \right)^n = \left( \frac{n + 1}{n + 2} \right)^n$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$\lim_{n \to +\infty} \frac{(f(n))^n}{e^n (f(n + 1))^n} = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{n + 1}{n + 2} \right)^n = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1 + \frac{-1}{n + 2} \right)^{-1} \right)^{\frac{-n}{n+2}} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ **3p**

**c)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( (x + 1) e^{-x} \right) = -\infty$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{e^x} = 0$ **2p**

Cum $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$, $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, 0)$, $f(0) = 1$ și $f$ este strict descrescătoare pe $(0, +\infty)$, ecuația $f(x) = m$ are două soluții reale distincte $\Leftrightarrow m \in (0, 1)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (f(x) - x) dx = \int_0^1 \frac{2}{x + 1} dx = 2 \ln(x + 1) \Big _0^1 =$ **3p**

$= 2 \ln 2 - 2 \ln 1 = 2 \ln 2$ **2p**

**b)** $\int_1^e \left( f(x) - \frac{2}{x + 1} \right) \ln x \, dx = \int_1^e x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x \Big _1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx =$ **3p**

$= \frac{e^2}{2} - \frac{x^2}{4} \Big _1^e = \frac{e^2 + 1}{4}$ **2p**

**c)** $F$ este primitivă a lui $f$ și $F(0) = 0$, deci $F : (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $F(x) = \frac{x^2}{2} + 2 \ln(x + 1)$ **1p**

$\int_0^1 2 f(x) F(x) dx = \int_0^1 2 F(x) F'(x) dx = F^2(x) \Big _0^1 = \frac{1}{4} + 2 \ln 2 + 4 \ln^2 2$ **2p**

$\frac{1}{4} + 2 \ln 2 + 4 \ln^2 2 = \frac{1}{4} + \ln 4 + \ln^2 a \Leftrightarrow 4 \ln^2 2 = \ln^2 a$, deci $\ln a = -2 \ln 2$ sau $\ln a = 2 \ln 2$, de unde obținem $a = \frac{1}{4}$ sau $a = 4$, care convin **2p**

***