Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 5**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2z_1 - z_2 = 2(3 - 3i) - (5 - 6i) =$ **2p**

$= 6 - 6i - 5 + 6i = 1$ **3p**

**2.** $m + 15 + (m + 1) + 15 = 35$ **2p**

$2m + 31 = 35 \Rightarrow m = 2$ **3p**

**3.** $3^x(2 - 3) + 27 = 0 \Leftrightarrow 3^x = 27$ **3p**

$x = 3$ **2p**

**4.** Sunt 900 de numere naturale de trei cifre, deci sunt 900 de cazuri posibile **2p**

Numerele naturale de trei cifre care sunt multipli de 25 sunt $25 \cdot 4, 25 \cdot 5, \dots, 25 \cdot 39$, deci sunt 36 de cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{36}{900} = \frac{1}{25}$ **1p**

**5.** $\vec{AC} = \vec{CB}$, deci punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$ **3p**

$a = 2, b = 5$ **2p**

**6.** $\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2} \Rightarrow 6 = \frac{4 \cdot AC}{2} \Rightarrow AC = 3$ **3p**

$BC = 5$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & a+1 & a \\ a & 6 & 4 \end{vmatrix} = 8a + 8 + 12 + 2a^2 - a^2 - a - 12a - 16 =$ **3p**

$= a^2 - 5a + 4 = (a - 1)(a - 4)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**b)** $A(4) - A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, $(A(4) - A(1))A(a) = 3 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a+2 & a+7 & a+4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real **3p**

$A(a)(A(4) - A(1)) = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ a & a+1 & a+1 \\ 4 & 6 & 6 \end{pmatrix}$, deci $A(a)(A(4) - A(1)) \neq (A(4) - A(1))A(a)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**c)** Sistemul are soluția unică $(x_0, y_0, z_0)$, deci $a \in \mathbb{Z} \setminus \{1, 4\}$ și soluția sistemului de ecuații este $\left( \frac{a-3}{a-4}, \frac{a-6}{a-4}, -\frac{a-6}{a-4} \right)$ **3p**

Cum $x_0, y_0, z_0$ și $a$ sunt numere întregi, obținem $a = 3$ sau $a = 5$, care convin **2p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $3 * 0 = \frac{100(3+0)}{3 \cdot 0 + 100} =$ **3p**

$= \frac{300}{100} = 3$ **2p**

**b)** $f(x * y) = \frac{10 - \frac{100(x+y)}{xy+100}}{10 + \frac{100(x+y)}{xy+100}} = \frac{10xy - 100x - 100y + 1000}{10xy + 100x + 100y + 1000} = \frac{xy - 10x - 10y + 100}{xy + 10x + 10y + 100} =$ **3p**

$= \frac{(x-10)(y-10)}{(x+10)(y+10)} = \frac{10-x}{10+x} \cdot \frac{10-y}{10+y} = f(x)f(y)$, pentru orice $x, y \in M$ **2p**

**c)** $f\left(\underbrace{x * x * \dots * x}_{\text{de 11 ori } x}\right) = f(0)$, deci $\underbrace{f(x)f(x)\dots f(x)}_{\text{de 11 ori } f(x)} = f(0) \Leftrightarrow (f(x))^{11} = 1$ **3p**

$f(x) = 1 \Leftrightarrow 10 - x = 10 + x$, deci $x = 0$, care convine **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x(x^2 - 4x + 1) + e^x(2x - 4) =$ **3p**

$= e^x(x^2 - 2x - 3) = e^x(x - 3)(x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Tangenta la graficul funcției $f$ în $(x_0, f(x_0))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y = 2020 \Leftrightarrow f'(x_0) = 0$ **2p**

$e^{x_0}(x_0 - 3)(x_0 + 1) = 0 \Leftrightarrow x_0 = -1$ sau $x_0 = 3$ **3p**

**c)** $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$, $f(-1) = \frac{6}{e}$, $f(3) = -2e^3$ și $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ **2p**

Cum $f$ este continuă pe $\mathbb{R}$ și $f$ este strict monotonă pe $(-\infty, -1)$, pe $(-1, 3)$ și pe $(3, +\infty)$, graficul funcției $f$ intersectează dreapta de ecuație $y = a$ în exact trei puncte $\Leftrightarrow f(x) = a$ are exact trei soluții reale $\Leftrightarrow a \in \left(0, \frac{6}{e}\right) \cap \left(-2e^3, \frac{6}{e}\right) \cap (-2e^3, +\infty) = \left(0, \frac{6}{e}\right)$ **3p**

**2.a)** $F : (1, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $f \Rightarrow F'(x) = f(x) = \ln x + \frac{1}{\ln x}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

$F'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$, deci $F$ este strict crescătoare pe intervalul $(1, +\infty)$ **3p**

**b)** $\int_{e}^{e^2} \frac{1}{x}(f(x) - \ln x) dx = \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\ln x} dx = \ln(\ln x) \bigg _{e}^{e^2} =$ **3p**

$= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$ **2p**

**c)** $\int_{e}^{a} \ln x dx = x \ln x \bigg _{e}^{a} - \int_{e}^{a} x \cdot \frac{1}{x} dx = a \ln a - e - (a - e) = a \ln a - a$ **3p**

$a \ln a - a = 2a \Leftrightarrow a(\ln a - 3) = 0$ și, cum $a > e$, obținem $a = e^3$ **2p**

***