Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 4**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $n < 3 \Rightarrow M = \{0, 1, 2\}$ **3p**

Suma pătratelor elementelor mulțimii $M$ este $0^2 + 1^2 + 2^2 = 5$ **2p**

**2.** Abscisa vârfului parabolei asociate funcției $f$ este $-\frac{b}{2a} = \frac{m}{2}$ **2p**

$\frac{m}{2} = 3$, deci $m = 6$ **3p**

**3.** $x + 2 = 8 - x \Rightarrow 2x = 6$ **3p**

$x = 3$, care convine **2p**

**4.** O mulțime cu 12 elemente are $C_{12}^{10}$ submulțimi cu 10 elemente **3p**

$C_{12}^{10} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66$ **2p**

**5.** $D(2, 2)$, deci $M(5, 6)$, unde $M$ este mijlocul segmentului $CD$ **2p**

$m_{AC} = 3$, deci ecuația dreptei paralele cu dreapta $AC$ și care trece prin punctul $M$ este $y - 6 = 3(x - 5)$, deci $y = 3x - 9$ **3p**

**6.** $\cos 2k\pi = 1$ și $\cos(2k + 1)\pi = -1$, unde $k \in \mathbb{Z}$ **2p**

$S = (-1) + 1 + (-1) + 1 + \dots + (-1) + 1 = 0$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + (-1) + (-1) - 0 - 1 - 1 = -4$ **3p**

**b)** $A(x)A(y) = \begin{pmatrix} 1 + 2xy & 0 & 1 - 2xy \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 - 2xy & 0 & 1 + 2xy \end{pmatrix}$, $A(2xy) = \begin{pmatrix} 2xy & 1 & -2xy \\ 1 & 0 & 1 \\ -2xy & 1 & 2xy \end{pmatrix}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

$\det(A(x)A(y) - A(2xy)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**c)** $A(x)A\left(\frac{1}{2x}\right) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I_3$, pentru orice număr real nenul $x$ **2p**

$A(1)A\left(\frac{1}{2}\right) + A(2)A\left(\frac{1}{4}\right) + \dots + A(1010)A\left(\frac{1}{2020}\right) = 1010 \cdot 2I_3$, deci $n = 2020$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $2^5 * 3^5 = \left( \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[5]{3^5} \right)^5 =$ **3p**

$= (2+3)^5 = 5^5$ **2p**

**b)** $2^5 * x^5 * (243x^5) = \left( \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[5]{x^5} + \sqrt[5]{243x^5} \right)^5 = (2+x+3x)^5 = (2+4x)^5$, unde $x$ este număr real **3p**

$(2+4x)^5 = 10^5$, deci $x=2$ **2p**

**c)** $1^5 * 2^5 = \left( \sqrt[5]{1^5} + \sqrt[5]{2^5} \right)^5 = (1+2)^5$, $1^5 * 2^5 * 3^5 = \left( \sqrt[5]{1^5} + \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[5]{3^5} \right)^5 = (1+2+3)^5$ **2p**

$M = 1^5 * 2^5 * 3^5 * \dots * 10^5 = \left( \sqrt[5]{1^5} + \sqrt[5]{2^5} + \sqrt[5]{3^5} + \dots + \sqrt[5]{10^5} \right)^5 = (1+2+3+\dots+10)^5 = 5^5 \cdot 11^5 = N$, de unde obținem $M - N = 0$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} + \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} =$ **2p**

$= \frac{2x + x(x+1) - (x+1)^2}{x(x+1)^2} = \frac{x-1}{x(x+1)^2}$, $x \in (0, +\infty)$ **3p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x-1}{x+1} + \ln \frac{x+1}{x} \right) = 1 + \ln 1 = 1$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=1$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in (0,1]$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty)$, deci $f$ este crescătoare pe $[1, +\infty) \Rightarrow f(x) \ge f(1)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$f(1) = \ln 2 > 0 \Rightarrow f(x) > 0$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$, de unde obținem că graficul funcției $f$ **nu** intersectează axa $Ox$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 (x^2+1) dx = \left( \frac{x^3}{3} + x \right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$ **2p**

**b)** $\int_{-1}^1 xf(x) dx = -\int_{-1}^0 x\sqrt{x^2+1} dx + \int_0^1 x\sqrt{x^2+1} dx =$ **2p**

$= -\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \bigg _{-1}^0 + \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} \bigg _0^1 = -\frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2}-2}{3}$ **3p**

**c)** Din regula lui l'Hospital, $\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x t \cdot f(t) dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x f(x)}{2x} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1}}{2} = \frac{1}{2}$ **2p**

***