Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 3**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2z - z^2 = 2(1+i) - (1+i)^2 =$ **2p**

$= 2 + 2i - (1 + 2i + i^2) = 2 + 2i - 2i = 2$ **3p**

**2.** $\Delta = m^2 - 8m$ **2p**

$f(x) > 0$ pentru orice număr real $x$, deci $\Delta < 0$, de unde obținem $m \in (0,8)$ **3p**

**3.** $\log_5 ((\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)) = 2 \Rightarrow (\sqrt{x})^2 - 1 = 5^2$ **3p**

$x = 26$, care convine **2p**

**4.** O mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi **2p**

$2^n = 32$, deci $n = 5$ **3p**

**5.** $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD} \Rightarrow ABDC$ paralelogram, deci segmentele $AD$ și $BC$ au același mijloc **3p**

Coordonatele punctului $D$ sunt $x = 8$ și $y = 5$ **2p**

**6.** $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$ **2p**

$\cos x - \sin x = \sin x - \cos x \Leftrightarrow \cos x = \sin x$ și, cum $x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, obținem $x = \frac{\pi}{4}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix} =$ **3p**

$= 8 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 8$ **2p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 4 - 2a - 2b + 2ab & 0 & 2a + 2b - 2ab \\ 0 & 4 & 0 \\ 2a + 2b - 2ab & 0 & 4 - 2a - 2b + 2ab \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} ab - a - b + 2 & 0 & 2 - (ab - a - b + 2) \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 - (ab - a - b + 2) & 0 & ab - a - b + 2 \end{pmatrix} = 2A(ab - a - b + 2)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $A(pq - p - q + 2) = 2I_3 \Leftrightarrow A(pq - p - q + 2) = A(2) \Leftrightarrow pq - p - q = 0$ **2p**

Cum $p$ și $q$ sunt numere întregi, din $(p-1)(q-1) = 1$, obținem $p=0, q=0$ sau $p=2, q=2$ **3p**

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $x * y = -\frac{3}{5}xy + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}x + y = -\frac{3}{5}x\left(y - \frac{5}{3}\right) + y - \frac{5}{3} + \frac{5}{3} =$ **3p**

$= \left(y - \frac{5}{3}\right)\left(-\frac{3}{5}x + 1\right) + \frac{5}{3} = -\frac{3}{5}\left(x - \frac{5}{3}\right)\left(y - \frac{5}{3}\right) + \frac{5}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**b)** $\frac{5x}{3} * \frac{5}{3x} = -\frac{3}{5}\left(\frac{5x}{3} - \frac{5}{3}\right)\left(\frac{5}{3x} - \frac{5}{3}\right) + \frac{5}{3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{(x-1)^2}{x} + \frac{5}{3}$, $x \in (0, +\infty)$ **3p**

$x > 0 \Rightarrow \frac{5(x-1)^2}{3x} \geq 0$, deci $\frac{5x}{3} * \frac{5}{3x} \geq \frac{5}{3}$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**c)** $x * \frac{5}{3} = \frac{5}{3}$ și $\frac{5}{3} * y = \frac{5}{3}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale **3p**

$\frac{1}{3} * \frac{2}{3} * \frac{3}{3} * \dots * \frac{2020}{3} = \left(\left(\frac{1}{3} * \dots * \frac{4}{3}\right) * \frac{5}{3}\right) * \left(\frac{6}{3} * \dots * \frac{2020}{3}\right) = \frac{5}{3} * \left(\frac{6}{3} * \dots * \frac{2020}{3}\right) = \frac{5}{3}$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 4 - \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x =$ **3p**

$= \frac{4x^2 + 4 - 2x}{x^2 + 1} = \frac{2(2x^2 - x + 2)}{x^2 + 1}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} (f(x+1) - f(x)) = \lim_{x \to +\infty} \left(4 - \ln \frac{x^2 + 2x + 2}{x^2 + 1}\right) =$ **2p**

$= 4 - \ln 1 = 4$ **3p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in \mathbb{R} \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci $f$ este injectivă **2p**

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă pe $\mathbb{R} \Rightarrow f$ este surjectivă, deci $f$ este bijectivă **3p**

**2.a)** $\int_0^1 f^2(x) dx = \int_0^1 (25 - x^2) dx = \left(25x - \frac{x^3}{3}\right) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 25 - \frac{1}{3} = \frac{74}{3}$ **2p**

**b)** $\int_{-3}^3 x f(x) dx = -\int_{-3}^0 x\sqrt{25 - x^2} dx + \int_0^3 x\sqrt{25 - x^2} dx =$ **2p**

$= \frac{1}{3}(25 - x^2)^{\frac{3}{2}} \bigg _{-3}^0 - \frac{1}{3}(25 - x^2)^{\frac{3}{2}} \bigg _0^3 = \frac{125}{3} - \frac{64}{3} - \frac{64}{3} + \frac{125}{3} = \frac{122}{3}$ **3p**

**c)** $I_{n+1} - I_n = \int_0^1 \frac{1}{f^{n+1}(x)} dx - \int_0^1 \frac{1}{f^n(x)} dx = \int_0^1 \frac{1}{\left(\sqrt{25 - x^2}\right)^n} \left(\frac{1}{\sqrt{25 - x^2}} - 1\right) dx$ **2p**

$\frac{1}{\left(\sqrt{25 - x^2}\right)^n} > 0$ și $\frac{1}{\sqrt{25 - x^2}} - 1 < 0$, pentru orice $x \in [0, 1] \Rightarrow I_{n+1} - I_n \leq 0$, pentru orice număr natural nenul $n$, deci șirul $(I_n)_{n \geq 1}$ este descrescător **3p**

***