Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 2**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $(3-i)^2 - 6(3-i) + 10 =$ **2p**

$= 9 - 6i + i^2 - 18 + 6i + 10 = 0$ **3p**

**2.** $f(a) = a^2 + 6$, $f(a-2) = (a-2)^2 + 6$ **2p**

$a^2 + 6 = (a-2)^2 + 6$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**3.** $x^2 + 4x + 5 = 2x + 4 \Rightarrow x^2 + 2x + 1 = 0$ **3p**

$x = -1$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile **2p**

Mulțimea numerelor naturale de două cifre, care au produsul cifrelor egal cu 16, are 3 elemente, deci sunt 3 cazuri favorabile **2p**

$p = \frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}} = \frac{3}{90} = \frac{1}{30}$ **1p**

**5.** $ABCD$ este paralelogram, deci segmentele $AC$ și $BD$ au același mijloc **1p**

$x_A + x_C = x_B + x_D \Rightarrow x_D = 4$ **2p**

$y_A + y_C = y_B + y_D \Rightarrow y_D = 5$ **2p**

**6.** $E\left(\frac{\pi}{2}\right) = \text{tg} \frac{\pi}{4} - \text{ctg} \frac{\pi}{4} + \text{ctg} \frac{\pi}{2} + 2\sin \frac{5\pi}{6} =$ **2p**

$= 1 - 1 + 0 + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1$ **3p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 & -2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a & -2a^2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2b & -2b^2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2b - 2a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2a + 2b & -4ab - 2a^2 - 2b^2 & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & -2(a+b) & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2(a+b) & -2(a+b)^2 & 1 \end{pmatrix} = A(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**c)** $A(n) = A(1)A(2)A(3) \cdot \dots \cdot A(2020) = A(1+2+3+\dots+2020) = A\left(\frac{2020 \cdot 2021}{2}\right) =$ **3p**

$= A(1010 \cdot 2021)$, deci $n = 1010 \cdot 2021$, care este multiplu de $2021$ **2p**

**2.a)** $\sqrt{3} * 0 = \sqrt{3} \cdot 0 - \sqrt{3}(\sqrt{3} + 0) + 3 + \sqrt{3} =$ **3p**

$= -3 + 3 + \sqrt{3} = \sqrt{3}$ **2p**

**b)** $x * y = xy - \sqrt{3}x - \sqrt{3}y + 3 + \sqrt{3} =$ **2p**

$= x(y - \sqrt{3}) - \sqrt{3}(y - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = (x - \sqrt{3})(y - \sqrt{3}) + \sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **3p**

**c)** $x * \sqrt{3} = \sqrt{3}$ și $\sqrt{3} * y = \sqrt{3}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale **2p**

$\left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\right) * \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \dots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}} = \left(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{1}} * \sqrt{3}\right) * \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \dots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}} = \sqrt{3} * \left(\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} * \dots * \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{96}}\right) = \sqrt{3}$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x+4)e^x - (x^2+4x+4)e^x}{(e^x)^2} =$ **3p**

$= \frac{e^x(-x^2-2x)}{(e^x)^2} = \frac{-x(x+2)}{e^x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+4x+4}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+4}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $g(x) = \frac{1}{e^x}$, deci $\lim_{n \to +\infty} (g(1) + g(2) + \dots + g(n)) = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{e^1} + \frac{1}{e^2} + \dots + \frac{1}{e^n}\right) =$ **2p**

$= \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{e} \cdot \frac{\left(\frac{1}{e}\right)^n - 1}{\frac{1}{e} - 1} = \frac{1}{e-1}$ **3p**

**2.a)** $\int_0^1 (x+1)f(x)dx = \int_0^1 (2x+1)dx = (x^2+x) \Big _0^1 =$ **3p**

$= 1+1 = 2$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 \frac{2x+1}{x+1}dx = \int_0^1 \left(2 - \frac{1}{x+1}\right)dx = 2x \Big _0^1 - \ln(x+1) \Big _0^1 =$ **3p**

$= 2 - \ln 2 + \ln 1 = 2 - \ln 2$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 e^x(2x+1)^n dx = e^x(2x+1)^n \Big _0^1 - 2n \int_0^1 e^x(2x+1)^{n-1} dx =$ **3p**

$= e \cdot 3^n - 1 - 2nI_{n-1}$, deci $I_n + 2nI_{n-1} = 3^n e - 1$, pentru orice număr natural $n, n \ge 2$ **2p**

***

Test 2