Centrul Național de Evaluare și Examinare

**Examenul de bacalaureat național 2020**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Test 1**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $a = 16 + 24i + 9i^2 + 9 - 24i + 16i^2 =$ **2p**

$= 16 - 9 + 9 - 16 = 0$, care este număr natural **3p**

**2.** $\Delta = 121 - 4m$ **2p**

$\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \in \left( -\infty, \frac{121}{4} \right]$, deci cel mai mare număr întreg $m$ pentru care soluțiile ecuației sunt numere reale este $30$ **3p**

**3.** $1 + \log_7 x + \frac{1}{\log_7 x} = 3 \Rightarrow (\log_7 x - 1)^2 = 0$ **3p**

$\log_7 x = 1$, deci $x = 7$, care convine **2p**

**4.** $C_n^2 = 45$, unde $n$ este numărul de elemente al mulțimii, $n \in \mathbb{N}$, $n \ge 2$ **3p**

$\frac{n(n-1)}{2} = 45$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 10$ **2p**

**5.** Distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este egală cu $6$ **3p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{BC \cdot d(A, BC)}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$ **2p**

**6.** $\cos x \cos x - \sin x \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}$ **3p**

Cum $x \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right)$, obținem $x = \frac{\pi}{6}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1$ **3p**

**b)** $A(a)A(b) = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 - a \\ 0 & 1 & 2a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b & b^2 - b \\ 0 & 1 & 2b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & b + a & b^2 - b + 2ab + a^2 - a \\ 0 & 1 & 2b + 2a \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & a + b & (a + b)^2 - (a + b) \\ 0 & 1 & 2(a + b) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(a + b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $A(3)A(-3) = A(0) = I_3$, deci inversa matricei $A(3)$ este matricea $A(-3)$ **2p**

$X = A(-3) \cdot A(5) \Leftrightarrow X = A(2)$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Centrul Național de Evaluare și Examinare

**2.a)** $x * y = 2xy - 3x - 3y + \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = 2\left( xy - \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}y + \frac{9}{4} \right) + \frac{3}{2} =$ **3p**

$= 2\left( x\left( y - \frac{3}{2} \right) - \frac{3}{2}\left( y - \frac{3}{2} \right) \right) + \frac{3}{2} = 2\left( x - \frac{3}{2} \right)\left( y - \frac{3}{2} \right) + \frac{3}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**b)** $2\left( x - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{3}{2} = 14 \Leftrightarrow \left( x - \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{25}{4}$ **2p**

$x - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}$ sau $x - \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$, deci $x = -1$ sau $x = 4$ **3p**

**c)** $4\left( 2^n + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right)\left( 2^{n+1} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right)\left( 2^{n+2} + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \right) + \frac{3}{2} = 2^{20} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2^{2+n+n+1+n+2} = 2^{20}$ **3p**

$3n + 5 = 20$, deci $n = 5$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^3} + \frac{2}{x^3} =$ **3p**

$= \frac{-2x^3 + 2x^3 - 6x^2 + 6x - 2}{x^3(x-1)^3} = \frac{-2(3x^2 - 3x + 1)}{x^3(x-1)^3}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** Panta dreptei care este paralelă cu tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$ este $f'(2) = -\frac{7}{4}$ **3p**

Ecuația dreptei este $y - 3 = f'(2)(x - 0)$, deci $y = -\frac{7}{4}x + 3$ **2p**

**c)** $\lim_{n \to +\infty} (f(2) + f(3) + \dots + f(n))^{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} =$ **3p**

$= \lim_{n \to +\infty} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)^{n^2} = \lim_{n \to +\infty} \left( \left( 1 + \frac{-1}{n^2} \right)^{-n^2} \right)^{-1} = e^{-1}$ **2p**

**2.a)** $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{f(x)} dx = \int_0^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \sqrt{x^2+1} \bigg _0^{\sqrt{3}} =$ **3p**

$= \sqrt{4} - \sqrt{1} = 1$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{x^2+1}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int_0^1 \left( \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) dx = \int_0^1 x \left( \sqrt{x^2+1} \right)' dx + \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx =$ **3p**

$= x\sqrt{x^2+1} \bigg _0^1 - \int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx + \ln(x + \sqrt{x^2+1}) \bigg _0^1$, deci $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2}$ **2p**

**c)** Funcția $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = \int_0^x e^{f^2(t)} dt - x$ este derivabilă și $g'(x) = e^{x^2+1} - 1$ **2p**

$g'(x) > 0$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $g$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și, cum $g(0) = 0$, există un unic număr real $x$ pentru care $\int_0^x e^{f^2(t)} dt = x$ **3p**

***