**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 9**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\sqrt{2} \cdot (3+2\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} + 3 = 7$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 6$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = 3$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{4x-2} = 5^2$.

**5p** **4.** Prețul unui obiect este $300$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $30\%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(5,m)$ și $M(3,4)$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $2(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ)(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ) = \cos 60^\circ$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x+1 & 0 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 0$.

**5p** **b)** Arătați că $A(3) + A(5) = 2A(4)$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $\det(A(n) + I_2) \ge 0$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 - 3X^2 + mX - 1$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(0) = -1$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Arătați că $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_1x_2x_3$, pentru orice număr real $m$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X - 1$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} x f(x) = 1$.

**5p** **c)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^2+1)e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{f(x)}{e^x} dx = \dfrac{4}{3}$.

**5p** **b)** Demonstrați că funcția $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $F(x) = (x^2 - 2x + 3)e^x$ este o primitivă a funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=2$ are aria egală cu $3(e^2-1)$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*