**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 9**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\sqrt{2} \cdot (3 + 2\sqrt{2}) - 3\sqrt{2} + 3 = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 3 =$ **2p**

$= 4 + 3 = 7$ **3p**

**2.** $f(m) = 3m - 6$, pentru orice număr real $m$ **3p**

$3m - 6 = 3$, de unde obținem $m = 3$ **2p**

**3.** $4x - 2 = 2$, de unde obținem $4x = 4$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** $\frac{30}{100} \cdot 300 = 90$ de lei **3p**

Prețul după ieftinire este $300 - 90 = 210$ de lei **2p**

**5.** $3 = \frac{1 + 5}{2}$ și $4 = \frac{m + 1}{2}$ **3p**

$m = 7$ **2p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ **3p**

$2(\sin 45^\circ + \sin 30^\circ)(\sin 45^\circ - \sin 30^\circ) = 2 \left( \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right) = \frac{1}{2} = \cos 60^\circ$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 =$ **3p**

$= 0 - 0 = 0$ **2p**

**b)** $A(3) + A(5) = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 8 \\ 10 & 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix} = 2A(4)$ **2p**

**c)** $A(n) + I_2 = \begin{pmatrix} 1 & n \\ n+1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & n \\ n+1 & 1 \end{pmatrix}$ și $\det(A(n) + I_2) = 2 - n(n+1)$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$n(n+1) \le 2$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ și $n = 1$ **3p**

**2.a)** $f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + m \cdot 0 - 1 =$ **3p**

$= 0 - 0 + 0 - 1 = -1$, pentru orice număr real $m$ **2p**

**b)** $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ **2p**

$x_1x_2x_3 = 1$, de unde obținem $x_1 + x_2 + x_3 = 3x_1x_2x_3$, pentru orice număr real $m$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

**c)** $f(1)=1^3-3 \cdot 1^2+m \cdot 1-1=1-3+m-1=m-3$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$f(1)=0$, de unde obținem $m=3$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x)=\frac{x' \cdot\left(x^2+1\right)-x \cdot\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2}=$ **3p**

$=\frac{x^2+1-2 x^2}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{1-x^2}{\left(x^2+1\right)^2}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{x^2+1}=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=$ **3p**

$=\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=1$ **2p**

**c)** $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1$ și $x=1$; $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in(-\infty,-1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty,-1]$; $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in[-1,1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1,1]$ **3p**

$f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in[1,+\infty) \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1,+\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} d x=\int_0^1 \frac{\left(x^2+1\right) e^x}{e^x} d x=\int_0^1\left(x^2+1\right) d x=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\right _0 ^1=$ **3p**

$=\frac{1}{3}+1-0-0=\frac{4}{3}$ **2p**

**b)** Funcția $F$ este derivabilă și $F'(x)=(2 x-2) e^x+\left(x^2-2 x+3\right) e^x=\left(x^2+1\right) e^x$ **3p**

$F'(x)=f(x)$, pentru orice număr real $x$, deci funcția $F$ este o primitivă a funcției $f$ **2p**

**c)** $\mathcal{A}=\int_0^2 f(x) d x=\int_0^2\left(x^2+1\right) e^x d x=\left.F(x)\right _0 ^2=F(2)-F(0)=$ **3p**

$=3 e^2-3=3\left(e^2-1\right)$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale