**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 9**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $6-2\sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot (2-\sqrt{5})=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)+f(1)=0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $10^{x-1}=10^{-2x} \cdot 10^2$.

**5p** **4.** Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, au ambele cifre pare.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,6)$ și $B(6,0)$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $M$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OA$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6$ și aria egală cu $24$. Arătați că $AB=8$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x+1 & x+4 \\ 2x & 4x-3 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $\det(B(x)-xA)=x$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $B(x)+B(x+2)=2A \cdot A \cdot A$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 + mX^2 - 2X - 4$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Pentru $m=6$, arătați că $f(1)=1$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care $(x_1x_2x_3)^2 = x_1+x_2+x_3+x_1x_2x_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați rădăcinile polinomului $f$, știind că restul împărțirii lui $f$ la polinomul $X-2$ este egal cu $8$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{3-x}{x^2} + \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{x^2+x-6}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - \ln x) = 0$.

**5p** **c)** Arătați că $4f(x) - 1 \ge \ln 16$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-3, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x + \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_2^4 \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \right) dx = 18$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_1^6 (f(x)-3x) dx = 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int_{-2}^1 \frac{1}{x+3} \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \right) dx = 9(a - 2\ln 2)$.

***