**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 9**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $6-2\sqrt{5}+\sqrt{5}\cdot(2-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=$ **2p**

$=6-5=1$ **3p**

**2.** $f(a)=2a-3,\ f(1)=-1$ **3p**

$2a-3-1=0$, de unde obținem $a=2$ **2p**

**3.** $10^{x-1}=10^{-2x+2}$, de unde obținem $x-1=-2x+2$ **3p**

$x=1$ **2p**

**4.** Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri **3p**

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 2 moduri, deci sunt $3\cdot2=6$ numere **2p**

**5.** $M(2,3)$ **2p**

$BM=5$ **3p**

**6.** $\mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}$, deci $24=\frac{AB\cdot 6}{2}$ **3p**

$AB=\frac{24\cdot 2}{6}=8$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot 2 - 1\cdot 1 =$ **3p**

$=2-1=1$ **2p**

**b)** $B(x)-xA = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ x & 2x-3 \end{pmatrix}$, de unde obținem $\det(B(x)-xA)=-2x-3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$-2x-3=x$, de unde obținem $x=-1$ **2p**

**c)** $A\cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix},\ 2A\cdot A\cdot A = \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 16 & 26 \end{pmatrix}$ **3p**

$B(x)+B(x+2) = \begin{pmatrix} 2x+4 & 2x+10 \\ 4x+4 & 8x+2 \end{pmatrix}$, deci $\begin{pmatrix} 2x+4 & 2x+10 \\ 4x+4 & 8x+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 16 \\ 16 & 26 \end{pmatrix}$ și obținem $x=3$ **2p**

**2.a)** $f=X^3+6X^2-2X-4 \Rightarrow f(1)=1^3+6\cdot 1^2-2\cdot 1-4=$ **3p**

$=1+6-2-4=1$ **2p**

**b)** $x_1+x_2+x_3=-m,\ x_1x_2x_3=4$ **2p**

$16=-m+4$, de unde obținem $m=-12$ **3p**

**c)** $f(2)=8 \Rightarrow 4m=8$, de unde obținem $m=2$ **2p**

$f=X^3+2X^2-2X-4=(X+2)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2})$, deci rădăcinile polinomului $f$ sunt $-2, -\sqrt{2}$ și $\sqrt{2}$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

1.a) $f'(x) = \frac{-x^2 - 2x(3-x)}{x^4} + \frac{1}{x} =$ **3p**

$= \frac{x-6}{x^3} + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + x - 6}{x^3}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - \ln x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3-x}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x^2} - \frac{x}{x^2} \right) =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3}{x^2} - \frac{1}{x} \right) = 0$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$; pentru orice $x \in (0, 2]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(0, 2]$ și, pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[2, +\infty)$ **3p**

$f(x) \ge f(2)$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ și, cum $f(2) = \frac{1}{4} + \ln 2$, obținem $4f(x) - 1 \ge \ln 16$, pentru orice $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_2^4 \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \right) dx = \int_2^4 3x dx = \frac{3x^2}{2} \bigg _2^4 =$ **3p**

$= \frac{48}{2} - \frac{12}{2} = 18$ **2p**

**b)** $\int_1^6 (f(x) - 3x) dx = \int_1^6 \frac{1}{\sqrt{x+3}} dx = 2 \int_1^6 \frac{(x+3)'}{2\sqrt{x+3}} dx = 2\sqrt{x+3} \bigg _1^6 =$ **3p**

$= 6 - 4 = 2$ **2p**

**c)** $\int_{-2}^1 \frac{1}{x+3} \left( f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \right) dx = \int_{-2}^1 \left( 3 - \frac{9}{x+3} \right) dx = 3x \bigg _{-2}^1 - 9\ln(x+3) \bigg _{-2}^1 = 9(1 - \ln 4)$ **3p**

$9(1 - 2\ln 2) = 9(a - 2\ln 2)$, de unde obținem $a = 1$ **2p**

<br>