**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 9**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\sqrt{3} \cdot (2 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3} + 4 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4 =$ **2p**

$= -3 + 4 = 1$ **3p**

**2.** $f(a) = 5a - 4$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$5a - 4 = a$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**3.** $x^2 + 4x + 5 = 1$, de unde obținem $x^2 + 4x + 4 = 0$ **3p**

$x = -2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

Numerele $n$, din mulțimea $A$, pentru care numărul $n^2$ aparține mulțimii $A$ sunt $0$, $1$, $2$ și $3$, deci sunt $4$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ **3p**

**5.** Punctul $M(5,0)$ este mijlocul segmentului $AB$, de unde obținem $OM = 5$ **3p**

$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, deci $OA = OM$ **2p**

**6.** $AM = 4$ **2p**

$MC = \sqrt{AM^2 + AC^2} = 5$, deci $P_{\Delta AMC} = AM + AC + MC = 12$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $2 \circ 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 5(2 + 2) + 15 =$ **3p**

$= 8 - 20 + 15 = 3$ **2p**

**2.** $x \circ 3 = 2 \cdot x \cdot 3 - 5(x + 3) + 15 = 6x - 5x - 15 + 15 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3 \circ x = 2 \cdot 3 \cdot x - 5(3 + x) + 15 = 6x - 15 - 5x + 15 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**3.** $x \circ 4 = 3x - 5$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3x - 5 \le 1$, de unde obținem $x \le 2$, deci $x \in (-\infty, 2]$ **3p**

**4.** $x \circ y = 2xy - 5x - 5y + \frac{25}{2} + \frac{5}{2} = 2x \left( y - \frac{5}{2} \right) - 5 \left( y - \frac{5}{2} \right) + \frac{5}{2} =$ **3p**

$= 2 \left( x - \frac{5}{2} \right) \left( y - \frac{5}{2} \right) + \frac{5}{2}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**5.** $x \circ x = 2 \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{2}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2 \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 + \frac{5}{2} = x$, de unde obținem $2 \left( x - \frac{5}{2} \right)^2 - \left( x - \frac{5}{2} \right) = 0$, deci $x = \frac{5}{2}$ sau $x = 3$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**6.** $n \circ \frac{1}{n} = 17 - 5n - \frac{5}{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

Cum $n \circ \frac{1}{n}$ și $n$ sunt numere naturale, obținem $n=1$, care convine și $n=5$, care nu convine **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 =$ **3p**

$= 2 - 0 = 2$ **2p**

**2.** $2A(3) - A(5) = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2$ **2p**

**3.** $\det(A(a+1)) = a+1$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a+1 = 2a^2$, de unde obținem $a = -\frac{1}{2}$ sau $a=1$ **2p**

**4.** $A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1 & a-1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b-1 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & b-1+(a-1)b \\ 0 & ab \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 1 & ab-1 \\ 0 & ab \end{pmatrix} = A(ab)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**5.** $B = A(2) \cdot A(3) = A(6)$ **2p**

$A(6) \cdot A\left(\frac{1}{6}\right) = A\left(\frac{1}{6}\right) \cdot A(6) = A(1) = I_2$, de unde obținem că inversa matricei $B$ este matricea

$A\left(\frac{1}{6}\right) = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{5}{6} \\ 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}$ **3p**

**6.** $\det(bA(a)) = ab^2$, pentru orice numere naturale $a$ și $b$ **2p**

$ab^2 = 4$ și, cum $a$ și $b$ sunt numere naturale, obținem perechile $(1,2)$ și $(4,1)$ **3p**

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare