**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 9**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_1 = 2$ și $a_2 = 12$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 8$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(1+m) = 1-m$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg(x^2 - 3x + 5) = \lg 5$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n+1}$ să fie natural.

**5p** **5.** În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(3,0)$ și $C(5,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că dreptele $OA$ și $BC$ sunt paralele.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC = 9$ și $B = \frac{\pi}{3}$. Arătați că $AB = 3\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & 0 & x-1 \\ x & 1 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A(x) \cdot A(1) = 2A(x)$.

**5p** **c)** Arătați că, dacă matricea $A(x)$ este inversabilă, atunci și matricea $A(-x)$ este inversabilă.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = xy + \frac{2x + 2y - 1}{4}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 1 = \frac{7}{4}$.

**5p** **b)** Arătați că $e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\left( \frac{1}{2} - x \right) \circ \left( \frac{1}{2} + x \right) \circ \left( \frac{1}{2} + x^2 \right) = \frac{1}{2} - x^2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{4x^3}{(x-1)^2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $x \in (1, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că ecuația $f(x) = m$ are exact două soluții, pentru orice $m \in (27, +\infty)$.

***

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+1+x \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{1}^{3}(f(x)-x \ln x) d x=6$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{e}(f(x)-x-1) d x=\frac{e^{2}+1}{4}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real nenul $a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $O x$ a graficului funcției $g:[1,3] \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{(f(x)-x \ln x)^{2}}$ este egal cu $\frac{7 \pi}{24 a}$.