**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 9**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \Rightarrow 12 = \frac{2 + a_3}{2}$ **3p**

$a_3 = 22$ **2p**

**2.** $f(1+m) = m-7$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$m-7 = 1-m$, de unde obținem $m=4$ **3p**

**3.** $x^2 - 3x + 5 = 5$, de unde obținem $x^2 - 3x = 0$ **3p**

$x=0$ sau $x=3$, care convin **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt $7$ numere $n$ pentru care numărul $\sqrt{n+1}$ este natural, deci sunt $7$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{7}{90}$ **3p**

**5.** $m_{OA} = 2$ **2p**

$m_{BC} = \frac{a}{2}$ și, cum $m_{OA} = m_{BC}$, obținem $a=4$ **3p**

**6.** $\text{tg} B = \frac{AC}{AB}$, deci $\sqrt{3} = \frac{9}{AB}$ **3p**

$AB = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 4 - 0 - 1 - 0 = 3$ **3p**

**b)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $A(x) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 1+x & 1+x & 1+x \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x+1 & x+1 & x+1 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} 1+x & 1+x & 1+x \\ x-1 & x-1 & x-1 \\ x+1 & x+1 & x+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2x & 2x \\ 0 & 0 & 2x-2 \\ 2x & 2 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x=1$ **2p**

**c)** $\det(A(x)) = (x-1)^2(x+1)$ și $\det(A(x)) \neq 0$, deci $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ **3p**

Cum $-x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$, obținem $\det(A(-x)) \neq 0$, deci $A(-x)$ este inversabilă **2p**

**2.a)** $1 \circ 1 = 1 \cdot 1 + \frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1}{4} =$ **3p**

$= 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ **2p**

Varianta 9

Barem de evaluare și de notare

**b)** $x \circ \frac{1}{2} = x \cdot \frac{1}{2} + \frac{2x + 2 \cdot \frac{1}{2} - 1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{1}{2} \circ x = \frac{1}{2} \cdot x + \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 2x - 1}{4} = \frac{x}{2} + \frac{x}{2} = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{1}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**c)** $\left( \frac{1}{2} - x \right) \circ \left( \frac{1}{2} + x \right) = \frac{1}{2} - x^2$, $\left( \frac{1}{2} - x \right) \circ \left( \frac{1}{2} + x \right) \circ \left( \frac{1}{2} + x^2 \right) = \frac{1}{2} - x^4$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{1}{2} - x^4 = \frac{1}{2} - x^2$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = 0$ sau $x = 1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{12x^2(x-1)^2 - 4x^3 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4} =$ **3p**

$= \frac{12x^3 - 12x^2 - 8x^3}{(x-1)^3} = \frac{4x^2(x-3)}{(x-1)^3}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2}{(x-1)^2} = 4$ **2p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 4x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{8x^2 - 4x}{(x-1)^2} = 8$, deci dreapta de ecuație $y = 4x + 8$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 3$; $f'(x) < 0$, pentru orice $x \in (1, 3)$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(1, 3)$ și $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (3, +\infty)$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(3, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to 1} f(x) = +\infty$, $f(3) = 27$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, deci ecuația $f(x) = m$ are exact două soluții pentru orice $m \in (27, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_1^3 (f(x) - x \ln x) dx = \int_1^3 (x+1) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _1^3 =$ **3p**

$= \frac{15}{2} - \frac{3}{2} = 6$ **2p**

**b)** $\int_1^e (f(x) - x - 1) dx = \int_1^e \left( \frac{x^2}{2} \right)' \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x \bigg _1^e - \frac{x^2}{4} \bigg _1^e =$ **3p**

$= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$ **2p**

**c)** $g(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$, $x \in [1, 3]$, deci $V = \pi \int_1^3 g^2(x) dx = \pi \int_1^3 \frac{1}{(x+1)^4} dx = \pi \left( -\frac{1}{3(x+1)^3} \right) \bigg _1^3 = \frac{7\pi}{192}$ **3p**

$\frac{7\pi}{192} = \frac{7\pi}{24a}$, de unde obținem $a = 8$ **2p**

***