**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\left( 0,2 + \frac{3}{10} \right) \cdot 10 = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = 7$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 + 2x + 4} = 2$.

**5p** **4.** După o scumpire cu $50\%$, prețul unui obiect este de $225$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(5,0)$ și $C(5,5)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 3$ și $BC = 5$. Arătați că $\text{tg} B = \frac{4}{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^x \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 4$.

**5p** **b)** Arătați că $A(3) + 2A(1) = 3A(2)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x) \cdot A(x^2) = I_2$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = xy - x - y + 2$.

**5p** **a)** Arătați că $2 \circ 3 = 3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ 4 = x + 6$.

**5p** **c)** Arătați că $(x - 2) \circ (x + 2) \geq -3$, pentru orice număr real $x$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{e^x}{x^2 - 3}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{e^x(x^2 - 2x - 3)}{(x^2 - 3)^2}$, $x \in (2, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \frac{xf(x)}{e^x} = 0$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\frac{e^{x-3}}{x^2 - 3} \geq \frac{1}{6}$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

**2.** Se consideră funcția $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_{2}^{4}(f(x)-\ln x) d x=6$.

**5p** **b)** Arătați că $\int_{1}^{e} \frac{f(x)-x}{x} d x=\frac{1}{2}$.

**5p** **c)** Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $\int_{1}^{n} f(x) d x=2+3 \ln n$.

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale