**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\left(0,2+\frac{3}{10}\right) \cdot 10=(0,2+0,3) \cdot 10=$ **3p**

$=0,5 \cdot 10=5$ **2p**

**2.** $f(a)=2 a+3$ **2p**

$2 a+3=7$, de unde obținem $a=2$ **3p**

**3.** $x^{2}+2 x+4=4 \Rightarrow x(x+2)=0$ **3p**

$x=0$ sau $x=-2$, care convin **2p**

**4.** $x+\frac{50}{100} \cdot x=225$, unde $x$ este prețul inițial al obiectului **3p**

$x=150$ de lei **2p**

**5.** $A B=5$ **2p**

$B C=5$, deci triunghiul $A B C$ este isoscel **3p**

**6.** $A C=4$ **3p**

$\operatorname{tg} B=\frac{A C}{A B}=\frac{4}{3}$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow \operatorname{det}(A(2))=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}=4 \cdot 1-0 \cdot 0=$ **3p**

$=4-0=4$ **2p**

**b)** $A(3)+2 A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}=$ **3p**

$=3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}=3 A(2)$ **2p**

**c)** $A(x) \cdot A\left(x^{2}\right)=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x^{2}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x+x^{2}} \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^{x+x^{2}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow 2^{x+x^{2}}=1$, de unde obținem $x=0$ sau $x=-1$ **3p**

**2.a)** $2 \circ 3=2 \cdot 3-2-3+2=$ **3p**

$=6-2-3+2=3$ **2p**

**b)** $x \circ 4=x \cdot 4-x-4+2=3 x-2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$3 x-2=x+6$, de unde obținem $x=4$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $(x-2) \circ (x+2) = x^2 - 2x - 2 =$ **2p**

$= (x-1)^2 - 3 \geq -3$, pentru orice număr real $x$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{e^x \left(x^2-3\right) - e^x \cdot 2x}{\left(x^2-3\right)^2} =$ **3p**

$= \frac{e^x \left(x^2-2x-3\right)}{\left(x^2-3\right)^2}$, $x \in (2, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{xf(x)}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x \cdot \frac{e^x}{x^2-3}}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x^2 \left(1 - \frac{3}{x^2}\right)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x \left(1 - \frac{3}{x^2}\right)} = 0$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$; $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in (2,3] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(2,3]$; $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in [3, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[3, +\infty)$ **3p**

$f(3) = \frac{e^3}{6}$, deci $f(x) \geq \frac{e^3}{6}$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$, de unde obținem $\frac{e^{x-3}}{x^2-3} \geq \frac{1}{6}$, pentru orice $x \in (2, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int_2^4 (f(x) - \ln x) \, dx = \int_2^4 (x + \ln x - \ln x) \, dx = \int_2^4 x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg _2^4 =$ **3p**

$= \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 6$ **2p**

**b)** $\int_1^e \frac{f(x) - x}{x} \, dx = \int_1^e \frac{x + \ln x - x}{x} \, dx = \int_1^e \frac{\ln x}{x} \, dx = \int_1^e \ln x \cdot (\ln x)' \, dx = \frac{(\ln x)^2}{2} \bigg _1^e =$ **3p**

$= \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1}{2}$ **2p**

**c)** $\int_1^n f(x) dx = \int_1^n (x + \ln x) dx = \int_1^n (x + x' \ln x) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \ln x - x \right) \bigg _1^n = \frac{n^2 - 2n + 1}{2} + n \ln n$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

$\frac{(n-1)^2}{2} + n \ln n = 2 + 3 \ln n \Leftrightarrow (n-3)(n+1+2\ln n) = 0$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n=3$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale