**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\frac{1}{8} + 3 \cdot \left( 1 - \frac{3}{8} \right) = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = 0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x} = 5^{2+x}$.

**5p** **4.** Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, acesta să verifice inegalitatea $n + 9 \le 15$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(4,-5)$ și $C(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Arătați că $\sqrt{2} \cdot (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ) \cdot \sin 30^\circ = 1$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

**5p** **a)** Arătați că $\det A = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $B + 3I_2 = 2A$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $x$ pentru care $A \cdot (xA + B) = 2xI_2$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2xy - 3(x + y) + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 0 = -2$.

**5p** **b)** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **c)** Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ (-2x) \ge 0$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (4, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{3x - 4}{x - 4}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = -\frac{8}{(x - 4)^2}$, $x \in (4, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $g: (4, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = f'(x)$ este crescătoare.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x + (x + 3)^2$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 (f(x) - (x + 3)^2) dx = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{-2}^0 \frac{1}{f(x) - x} dx = \frac{2}{3}$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_0^6 \frac{f(x)}{x + 3} dx = 3(a - \ln 3)$.

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale