**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\frac{1}{8} + 3 \cdot \left( 1 - \frac{3}{8} \right) = \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{5}{8} =$ **3p**

$= \frac{1}{8} + \frac{15}{8} = 2$ **2p**

**2.** $f(a) = 2a - 2$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$2a - 2 = 0$, de unde obținem $a = 1$ **2p**

**3.** $2x = 2 + x$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt 6 numere $n$ pentru care $n + 9 \le 15$, deci sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ **3p**

**5.** $a = \frac{0 + 4}{2} = 2$ **3p**

$b = \frac{5 + (-5)}{2} = 0$ **2p**

**6.** $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ **3p**

$\sqrt{2} \cdot (\sin 45^\circ + \cos 45^\circ) \cdot \sin 30^\circ = \sqrt{2} \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $\det A = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 3 \cdot 0 - 2 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 0 + 2 = 2$ **2p**

**b)** $B + 3I_2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 2A$ **2p**

**c)** $xA + B = \begin{pmatrix} 3x + 3 & 2x + 4 \\ -x - 2 & -3 \end{pmatrix} \Rightarrow A \cdot (xA + B) = \begin{pmatrix} 7x + 5 & 6x + 6 \\ -3x - 3 & -2x - 4 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} 7x + 5 & 6x + 6 \\ -3x - 3 & -2x - 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 0 \\ 0 & 2x \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = -1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**2.a)** $1 \circ 0 = 2 \cdot 1 \cdot 0 - 3(1 + 0) + 1 =$ **3p**

$= 0 - 3 + 1 = -2$ **2p**

**b)** $y \circ x = 2yx - 3(y + x) + 1 =$ **2p**

$= 2xy - 3(x + y) + 1 = x \circ y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **3p**

**c)** $x \circ (-2x) = -4x^2 + 3x + 1$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-4x^2 + 3x + 1 \ge 0$, de unde obținem $x \in \left[ -\frac{1}{4}, 1 \right]$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{3(x - 4) - (3x - 4)}{(x - 4)^2} =$ **3p**

$= \frac{3x - 12 - 3x + 4}{(x - 4)^2} = -\frac{8}{(x - 4)^2}$, $x \in (4, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x - 4}{x - 4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{4}{x}}{1 - \frac{4}{x}} = 3$ **3p**

Dreapta de ecuație $y = 3$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $g'(x) = f''(x) = \frac{16}{(x - 4)^3}$, $x \in (4, +\infty)$ **3p**

$g'(x) > 0$, pentru orice $x \in (4, +\infty)$, deci funcția $g$ este crescătoare **2p**

**2.a)** $\int_0^2 (f(x) - (x + 3)^2) \, dx = \int_0^2 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _0^2 =$ **3p**

$= \frac{4}{2} - 0 = 2$ **2p**

**b)** $\int_{-2}^0 \frac{1}{f(x) - x} \, dx = \int_{-2}^0 \frac{1}{(x + 3)^2} \, dx = \int_{-2}^0 \frac{(x + 3)'}{(x + 3)^2} \, dx = \left. -\frac{1}{x + 3} \right _{-2}^0 =$ **3p**

$= -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$ **2p**

**c)** $\int_0^6 \frac{f(x)}{x + 3} \, dx = \int_0^6 \frac{x + (x + 3)^2}{x + 3} \, dx = \int_0^6 \left( x + 4 - \frac{3}{x + 3} \right) \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right _0^6 + \left. 4x \right _0^6 - \left. 3\ln(x + 3) \right _0^6 = 42 - 3\ln 3$ **3p**

$42 - 3\ln 3 = 3(a - \ln 3)$, de unde obținem $a = 14$ **2p**

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*