**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră numerele complexe $z_1 = 3 - i$ și $z_2 = 1 + i$. Arătați că $z_1 + i z_2 = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5 - x$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = g(a + 1)$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(4x - x^2) = 1$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu elementele mulțimii $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$, $B(2,0)$ și $C$. Știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $OC$, determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $B = \frac{\pi}{6}$ și mediana $AM = 4$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8\sqrt{3}$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} x & 3x - 3 \\ 1 - x & 3x - 2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0)) = 3$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$ pentru care $A(2) \cdot A(0) + A(5) = m I_2$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(A(x) - A(0) \cdot A(1 - x)) = 3$.

**2.** Pe mulțimea $M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = x + y + 1 - \sqrt{xy + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 8 = 7$.

**5p** **b)** Determinați $x \in M$ pentru care $x \circ \frac{3}{x} = x$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $(n \circ (n + 2)) \circ (n + 4) > \frac{n^2}{2}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = (x^3 + 2x^2)e^x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = x(x^2 + 5x + 4)e^x$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 0$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $-\frac{32}{e^{x+4}} \le x^2(x + 2) \le \frac{1}{e^{x+1}}$, pentru orice $x \in [-4, 0]$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x^2 - \frac{2}{x + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_1^2 \left( f(x) + \frac{2}{x + 1} \right) dx = 7$.

***

Simulare

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{1}^{5} (3x^2 - f(x)) dx = 2 \ln 3$.

: :

**5p** **c)** Se consideră funcția $g : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = f(\sqrt{x} - 1)$. Arătați că $\int\limits_{1}^{4} (a + bg(x)) g'(x) dx = 4a$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.