**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $z_1 + iz_2 = 3 - i + i(1 + i) = 3 - i + i + i^2 =$ **3p**

$= 3 + (-1) = 2$ **2p**

**2.** $f(a) = 5 - a$, $g(a + 1) = a + 3$ **2p**

$5 - a = a + 3$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**3.** $4x - x^2 = 3$, de unde obținem $x^2 - 4x + 3 = 0$ **3p**

$x = 1$ sau $x = 3$, care convin **2p**

**4.** Cifra unităților se poate alege în 4 moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se pot forma $4 \cdot 3 = 12$ numere **3p**

**5.** $C(4,0)$ **2p**

$AC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ **3p**

**6.** $AC = 4$ **2p**

$AB = 4\sqrt{3}$, deci $\mathcal{A}_{\triangle ABC} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{2} = 8\sqrt{3}$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 0 \cdot (-2) - (-3) \cdot 1 =$ **3p**

$= 0 + 3 = 3$ **2p**

**b)** $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$, $A(5) = \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -4 & 13 \end{pmatrix}$, $A(2) \cdot A(0) + A(5) = \begin{pmatrix} 3 & -12 \\ 4 & -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 12 \\ -4 & 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} = 8I_2$ **3p**

$8I_2 = mI_2$, de unde obținem $m = 8$ **2p**

**c)** $A(1-x) = \begin{pmatrix} 1-x & -3x \\ x & 1-3x \end{pmatrix}$, $A(x) - A(0) \cdot A(1-x) = \begin{pmatrix} 4x & -6x \\ 2x & 0 \end{pmatrix}$, de unde obținem $\det(A(x) - A(0) \cdot A(1-x)) = 12x^2$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$12x^2 = 3$, de unde obținem $x = -\frac{1}{2}$ sau $x = \frac{1}{2}$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 8 = 1 + 8 + 1 - \sqrt{1 \cdot 8 + 1} =$ **3p**

$= 10 - 3 = 7$ **2p**

**b)** $x \circ \frac{3}{x} = x + \frac{3}{x} - 1$, pentru orice $x \in M$ **3p**

$x + \frac{3}{x} - 1 = x$, de unde obținem $x = 3$, care convine **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Simulare

**c)** $n \circ(n+2)=n+2$, $(n \circ(n+2)) \circ(n+4)=n+4$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

$n+4>\frac{n^{2}}{2}$ și, cum $n$ este număr natural nenul, obținem $n=1$ sau $n=2$ sau $n=3$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f^{\prime}(x)=\left(3 x^{2}+4 x\right) e^{x}+\left(x^{3}+2 x^{2}\right) e^{x}=$ **3p**

$=\left(x^{3}+5 x^{2}+4 x\right) e^{x}=x\left(x^{2}+5 x+4\right) e^{x}, x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime}(0)(x-0)$, adică $y=0$ **3p**

**c)** $f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=-4$ sau $x=-1$ sau $x=0$; pentru $x \in[-4,-1] \Rightarrow f^{\prime}(x) \geq 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-4,-1]$ și pentru $x \in[-1,0] \Rightarrow f^{\prime}(x) \leq 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[-1,0]$ **2p**

$f(-4)=-\frac{32}{e^{4}}, f(-1)=\frac{1}{e}$ și $f(0)=0$, deci $-\frac{32}{e^{4}} \leq f(x) \leq \frac{1}{e}$, de unde obținem $-\frac{32}{e^{x+4}} \leq x^{2}(x+2) \leq \frac{1}{e^{x+1}}$, pentru orice $x \in[-4,0]$ **3p**

**2.a)** $\int_{1}^{2}\left(f(x)+\frac{2}{x+1}\right) d x=\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x=\left.x^{3}\right _{1} ^{2}=$ **3p**

$=8-1=7$ **2p**

**b)** $\int_{1}^{5}\left(3 x^{2}-f(x)\right) d x=\int_{1}^{5} \frac{2}{x+1} d x=\left.2 \int_{1}^{5} \frac{(x+1)^{\prime}}{x+1} d x=2 \ln (x+1)\right _{1} ^{5}=$ **3p**

$=2 \ln 6-2 \ln 2=2 \ln 3$ **2p**

**c)** $\int_{1}^{4}(a+b g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int_{1}^{4} a g^{\prime}(x) d x+\int_{1}^{4} b g(x) g^{\prime}(x) d x=\left.a g(x)\right _{1} ^{4}+\left.\frac{b g^{2}(x)}{2}\right _{1} ^{4}=$

$=a(g(4)-g(1))+\frac{b}{2}\left(g^{2}(4)-g^{2}(1)\right)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **3p**

$g(1)=f(0)=-2, g(4)=f(1)=2$, deci $\int_{1}^{4}(a+b g(x)) g^{\prime}(x) d x=4 a$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

***

Simulare