**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $0,5 + 10 \cdot (1 - 0,75) = 3$.

**5p** **2.** Se consideră funcțiile $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x - 1$ și $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = x + 1$. Arătați că $f(m) + g(-m) = m$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2 + 6} = \sqrt{5x}$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizor al lui $30$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(2,2)$ și $C(4,0)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$.

**5p** **6.** Se consideră $E(x) = 3\cos^2 x - \cos \dfrac{x}{2} \cdot \sin x$, unde $x$ este număr real. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} x & -2x \\ 1 & x-6 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(6)) = 12$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $a$ pentru care $A(4) \cdot A(4) = aA(4)$.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale nenule, cu $m < n$, pentru care $\det(A(m) + A(n)) = 0$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy(x + y - xy)$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 3 = 3$.

**5p** **b)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * 2 = -x^2$.

**5p** **c)** Determinați numărul întreg nenul $m$ pentru care $\dfrac{1}{2m} * m = m$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{x^2 - 2}{x} - 3\ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) + 3\ln x}{x + 1} = 1$.

**5p** **c)** Demonstrați că $\dfrac{x^2 + x - 2}{x} \le 3\ln x$, pentru orice $x \in (0, 2]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 + x + 1$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 (f(x) - x^3) dx = 4$.

***

Model

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x} dx = \frac{\ln 2}{3}$.

**5p** **c)** Determinați $a \in (-\infty, 0)$, știind că $\int\limits_{a}^{0} e^{-x} \left( f'(x) - f(x) \right) dx = 1 - a^3 e^{-a}$.

***