**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $0,5 + 10 \cdot (1 - 0,75) = 0,5 + 10 \cdot 0,25 =$ **2p**

$= 0,5 + 2,5 = 3$ **3p**

**2.** $f(m) = 2m - 1$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$g(-m) = -m + 1 \Rightarrow f(m) + g(-m) = 2m - 1 - m + 1 = m$, pentru orice număr real $m$ **3p**

**3.** $x^2 + 6 = 5x$, deci $x^2 - 5x + 6 = 0$ **2p**

$x = 2$ sau $x = 3$, care convin **3p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

În mulțimea $A$ sunt 5 divizori ai lui 30, deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{5}{9}$ **3p**

**5.** $m_{AB} = 1$ **2p**

$m_{BC} = -1 \Rightarrow m_{AB} \cdot m_{BC} = -1$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$ **3p**

**6.** $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(6) = \begin{pmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(6)) = \begin{vmatrix} 6 & -12 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 6 \cdot 0 - (-12) \cdot 1 =$ **3p**

$= 0 + 12 = 12$ **2p**

**b)** $A(4) = \begin{pmatrix} 4 & -8 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $A(4) \cdot A(4) = \begin{pmatrix} 8 & -16 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} = 2A(4)$ **3p**

$aA(4) = 2A(4)$, de unde obținem $a = 2$ **2p**

**c)** $A(m) + A(n) = \begin{pmatrix} m+n & -2m-2n \\ 2 & m+n-12 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(m) + A(n)) = (m+n)(m+n-8)$, pentru orice numere naturale nenule $m$ și $n$ **2p**

$(m+n)(m+n-8) = 0$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, cu $m < n$, obținem perechile $(1, 7)$, $(2, 6)$ și $(3, 5)$ **3p**

**2.a)** $1 * 3 = 1 \cdot 3(1 + 3 - 1 \cdot 3) =$ **3p**

$= 3 \cdot 1 = 3$ **2p**

**b)** $x * 2 = 2x(2 - x)$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$2x(2 - x) = -x^2$, de unde obținem $x = 0$ sau $x = 4$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**c)** $\frac{1}{2m} * m = \frac{2m^2 - m + 1}{4m}$, pentru orice număr real nenul $m$ **2p**

$\frac{2m^2 - m + 1}{4m} = m$, deci $2m^2 + m - 1 = 0$ și, cum $m$ este număr întreg nenul, obținem $m = -1$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2x \cdot x - (x^2 - 2)}{x^2} - \frac{3}{x} =$ **3p**

$= \frac{x^2 + 2}{x^2} - \frac{3}{x} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}, x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) + 3\ln x}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 2}{x^2 + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 \left( 1 - \frac{2}{x^2} \right)}{x^2 \left( 1 + \frac{1}{x} \right)} =$ **3p**

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ sau $x = 2$; pentru orice $x \in (0, 1]$, $f'(x) \geq 0 \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(0, 1]$ și pentru orice $x \in [1, 2]$, $f'(x) \leq 0 \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1, 2]$, de unde obținem $f(x) \leq f(1)$, pentru orice $x \in (0, 2]$ **3p**

$f(1) = -1$, deci $\frac{x^2 - 2}{x} - 3\ln x \leq -1$, de unde obținem $\frac{x^2 + x - 2}{x} \leq 3\ln x$, pentru orice $x \in (0, 2]$ **2p**

**2.a)** $\int_0^2 (f(x) - x^3) dx = \int_0^2 (x + 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= \frac{2^2}{2} + 2 = 4$ **2p**

**b)** $\int_0^1 \frac{x^2}{f(x) - x} dx = \int_0^1 \frac{x^2}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{(x^3 + 1)'}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln(x^3 + 1) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \frac{\ln 2}{3} - \frac{\ln 1}{3} = \frac{\ln 2}{3}$ **2p**

**c)** $\int_a^0 e^{-x} (f'(x) - f(x)) dx = \int_a^0 (e^{-x} f(x))' dx = e^{-x} f(x) \bigg _a^0 = 1 - e^{-a} (a^3 + a + 1)$, unde $a \in (-\infty, 0)$ **3p**

$1 - e^{-a} (a^3 + a + 1) = 1 - a^3 e^{-a}$, de unde obținem $a = -1$, care convine **2p**

***