**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Simulare**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Se consideră progresia aritmetică $(a_n)_{n \geq 1}$ cu $a_1 = 6$ și $a_2 = 8$. Calculați $a_3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4x - 9$. Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A(m, 3)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x = 2^{3x-2}$.

**5p** **4.** La o competiție sportivă $40\%$ dintre concurenți sunt fete. Determinați numărul total de concurenți, știind că la competiție au participat 80 de fete.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$, $B(1,3)$ și $C(a,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care segmentele $AB$ și $OC$ au același mijloc.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 8\sqrt{3}$ și $BC = 16$. Demonstrați că triunghiul $AMC$ este echilateral, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 3(xy - 2x - 2y) + 14$.

**5p** **1.** Arătați că $3 \circ 3 = 1 \circ 1$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x \circ 2 = 2$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **3.** Arătați că $e = \frac{7}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **4.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 5$.

**5p** **5.** Arătați că $x \circ y \geq 2$, pentru orice numere reale $x \geq 2$ și $y \geq 2$.

**5p** **6.** Demonstrați că, dacă $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule și $m \circ n = 8$, atunci $m + n = 7$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$ și $X(a) = I_2 + aA$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det A = 0$.

**5p** **2.** Arătați că $A \cdot A = A$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(X(a)) = 2a^2$.

**5p** **4.** Demonstrați că $A \cdot X(a) = (a+1)A$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **5.** Demonstrați că $X(m) \cdot X(n) = X(m + n + mn)$, pentru orice numere reale $m$ și $n$.

**5p** **6.** Demonstrați că, dacă $a$ și $b$ sunt numere reale distincte pentru care $X(a) \cdot X(a) = X(b) \cdot X(b)$, atunci $a + b + 2 = 0$.

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare