**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_2 - a_1 = 2$ **2p**

$a_3 = 10$ **3p**

**2.** $f(m) = 3 \Leftrightarrow 4m - 9 = 3$ **3p**

$m = 3$ **2p**

**3.** $2^{2x} = 2^{3x-2} \Rightarrow 2x = 3x - 2$ **3p**

$x = 2$ **2p**

**4.** $\frac{40}{100} \cdot x = 80$, unde $x$ este numărul total de concurenți **3p**

$x = 200$ de concurenți **2p**

**5.** $M(2,2)$ este mijlocul segmentului $AB$ **2p**

$M$ este mijlocul segmentului $OC \Rightarrow \frac{0+a}{2} = 2$, de unde obținem $a = 4$ **3p**

**6.** $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = 8$ **2p**

$CM = 8$, $AM = 8$, deci triunghiul $AMC$ este echilateral **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $3 \circ 3 = 3(3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 3) + 14 = 5$ **2p**

$1 \circ 1 = 3(1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1) + 14 = 5 \Rightarrow 3 \circ 3 = 1 \circ 1$ **3p**

**2.** $x \circ 2 = 3(x \cdot 2 - 2 \cdot x - 2 \cdot 2) + 14 =$ **3p**

$= -12 + 14 = 2$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**3.** $x \circ \frac{7}{3} = 3\left(x \cdot \frac{7}{3} - 2x - 2 \cdot \frac{7}{3}\right) + 14 = 7x - 6x - 14 + 14 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$\frac{7}{3} \circ x = 3\left(\frac{7}{3} \cdot x - 2 \cdot \frac{7}{3} - 2x\right) + 14 = 7x - 14 - 6x + 14 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e = \frac{7}{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**4.** $x \circ x = 3x^2 - 12x + 14$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$3x^2 - 12x + 14 = 5$, deci $x^2 - 4x + 3 = 0$, de unde obținem $x = 1$ sau $x = 3$ **3p**

**5.** $x \ge 2$ și $y \ge 2 \Rightarrow x - 2 \ge 0$ și $y - 2 \ge 0$, deci $(x - 2)(y - 2) \ge 0$ **2p**

$x \circ y = 3(x - 2)(y - 2) + 2 \Rightarrow x \circ y \ge 2$, pentru orice numere reale $x \ge 2$ și $y \ge 2$ **3p**

**6.** $m \circ n = 8 \Leftrightarrow 3(m - 2)(n - 2) + 2 = 8$ **3p**

$(m - 2)(n - 2) = 2$ și, cum $m$ și $n$ sunt numere naturale nenule, obținem $m = 4$ și $n = 3$ sau $m = 3$ și $n = 4$, deci $m + n = 7$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**SUBIECTUL al III-lea** (30 de puncte)

**1.** $\det A = \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-2) - 6 \cdot (-1) =$ **3p**

$= -6 + 6 = 0$ **2p**

**2.** $A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 \cdot 3 + 6 \cdot (-1) & 3 \cdot 6 + 6 \cdot (-2) \\ -1 \cdot 3 + (-2) \cdot (-1) & -1 \cdot 6 + (-2) \cdot (-2) \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = A$ **2p**

**3.** $X(a) = \begin{pmatrix} 1 + 3a & 6a \\ -a & 1 - 2a \end{pmatrix} \Rightarrow \det(X(a)) = 1 + a$ **3p**

$1 + a = 2a^2$, de unde obținem $a = -\frac{1}{2}$ sau $a = 1$ **2p**

**4.** $A \cdot X(a) = A \cdot (I_2 + aA) = A \cdot I_2 + a \cdot A \cdot A = A + aA =$ **3p**

$= (a + 1)A$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**5.** $X(m) \cdot X(n) = (I_2 + mA)(I_2 + nA) = I_2 + mA + nA + mnA =$ **3p**

$= I_2 + (m + n + mn)A = X(m + n + mn)$, pentru orice numere reale $m$ și $n$ **2p**

**6.** $X(2a + a^2) = X(2b + b^2) \Leftrightarrow 2a + a^2 = 2b + b^2$ **2p**

$(a - b)(a + b + 2) = 0$ și, cum $a$ și $b$ sunt numere reale distincte, obținem $a + b + 2 = 0$ **3p**

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare