**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**Model**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $0,25 : 0,5 + \frac{1}{2} = 1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 4x$. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f(n) \ge n^2 - 8$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\log_2(3x - 1) = \sqrt{36}$

**5p** **4.** După o scumpire cu $20\%$, prețul unui produs crește cu $80$ de lei. Calculați prețul final al produsului.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1, 2)$, $B(1, m)$ și $C(3, 6)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, astfel încât punctul $C$ să fie simetricul punctului $A$ față de punctul $B$.

**5p** **6.** Arătați că $\sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2} \cdot \sin 45^\circ = 0$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{1}{2}xy - x - y + 4$.

**5p** **1.** Arătați că $2 \circ 1 = 2$.

**5p** **2.** Demonstrați că $x \circ y = \frac{1}{2}(x - 2)(y - 2) + 2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

**5p** **3.** Arătați că $e = 4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **4.** Arătați că numărul $N = m \circ n$ este natural par, pentru orice numere naturale pare $m$ și $n$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 4$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $x$ pentru care $4^x \circ 8^x = 2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $B(a) = \begin{pmatrix} a + 1 & 3 \\ 3 & a + 4 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $B(1) - B(0) = I_2$.

**5p** **2.** Arătați că $B(-1) \cdot B(-4) = 9I_2$.

**5p** **3.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(B(a)) = a$.

**5p** **4.** Demonstrați că matricea $C(n) = B(n) - A$ este inversabilă, pentru orice număr natural $n$.

**5p** **5.** Determinați numărul real $a$, știind că $A \cdot A = B(a)$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $a$, $a \ge 0$, pentru care $B(a) - B(\sqrt{a}) = O_2$.

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare