**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică *M_pedagogic***

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

***Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare***

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $0,25 : 0,5 + \frac{1}{2} = 0,5 + \frac{1}{2} =$ **3p**

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ **2p**

**2.** $n^2 - 4n \ge n^2 - 8 \Leftrightarrow n \le 2$ **2p**

Cum $n$ este număr natural, obținem $n=0$, $n=1$ sau $n=2$ **3p**

**3.** $\log_2(3x-1) = 3 \Rightarrow 3x-1 = 2^3$ **3p**

$x=3$, care convine **2p**

**4.** $\frac{20}{100} \cdot x = 80$ de lei, unde $x$ este prețul inițial al produsului **2p**

$x = 80 \cdot 5 = 400$ de lei, deci prețul final al produsului este $480$ de lei **3p**

**5.** Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $B$, deci punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ **3p**

$m = \frac{2+6}{2} \Rightarrow m = 4$ **2p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$\sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2} \cdot \sin 45^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** $2 \circ 1 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 - 2 - 1 + 4 =$ **3p**

$= 1 - 2 - 1 + 4 = 2$ **2p**

**2.** $x \circ y = \frac{1}{2}xy - x - y + 2 + 2 = \frac{1}{2}x(y-2) - (y-2) + 2 = (y-2)\left(\frac{1}{2}x - 1\right) + 2 =$ **3p**

$= \frac{1}{2}(x-2)(y-2) + 2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ **2p**

**3.** $x \circ 4 = 2x - x - 4 + 4 = x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$4 \circ x = 2x - 4 - x + 4 = x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**4.** $m = 2k$ și $n = 2p$, unde $k$ și $p$ sunt numere naturale **2p**

$N = 2(k-1)(p-1) + 2$, deci $N$ este număr natural par **3p**

**5.** $x \circ x = \frac{1}{2}(x-2)^2 + 2$, deci $\frac{1}{2}(x-2)^2 + 2 = 4$ **2p**

$(x-2)^2 = 4$, de unde obținem $x=0$ sau $x=4$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**6.** $\frac{1}{2}\left(4^x-2\right)\left(8^x-2\right)+2=2 \Leftrightarrow\left(2^{2x}-2\right)\left(2^{3x}-2\right)=0$ **3p**

$x=\frac{1}{2}$ sau $x=\frac{1}{3}$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $B(1)-B(0)=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}=$ **3p**

$=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_2$ **2p**

**2.** $B(-1) \cdot B(-4)=\begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}=$ **3p**

$=\begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix}=9I_2$ **2p**

**3.** $\det(B(a))=a^2+5a-5$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2+5a-5=a$, de unde obținem $a=-5$ sau $a=1$ **2p**

**4.** $C(n)=\begin{pmatrix} n+2 & 0 \\ 0 & n+2 \end{pmatrix}$, deci $\det(C(n))=(n+2)^2$, pentru orice număr natural $n$ **3p**

Cum $n$ este număr natural, $\det(C(n)) \neq 0$, deci matricea $C(n)$ este inversabilă pentru orice număr natural $n$ **2p**

**5.** $A \cdot A=\begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 3 & 13 \end{pmatrix}$ **2p**

$\begin{pmatrix} 10 & 3 \\ 3 & 13 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+1 & 3 \\ 3 & a+4 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a=9$ **3p**

**6.** $B(a)=B(\sqrt{a})$, unde $a$ este număr real, $a \geq 0$ **2p**

$a=\sqrt{a}$, de unde obținem $a=0$ sau $a=1$, care convin **3p**

***

Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare