**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Simulare**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**5p** **1.** Arătați că $\left(3+\lg \dfrac{1}{10}\right) \cdot \lg \sqrt{10}=1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+a x-1$, unde $a$ este număr real. Determinați numerele reale $a$ pentru care $(f \circ f)(1)=1$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x+1} \cdot 8^x=32$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\sqrt{n+100}$ să fie natural.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4), B(4,6)$ și $C(4,2)$. Determinați coordonatele punctului $D$, știind că $\overrightarrow{OD}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x)=\operatorname{tg} x-4 \cos \dfrac{x}{2} \cdot \cos x$, unde $x \in\left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)$. Arătați că $E\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$.

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} 1 & -1 & x \\ -1 & 0 & 0 \\ x & 0 & -1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(0))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $\det(A(x) \cdot A(x)-I_3) \leq 0$, pentru orice număr real $x$.

**5p** **c)** Se consideră matricea $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R}), B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $X \cdot(A(0))^{-1}=B \cdot A(0)$, unde $(A(0))^{-1}$ este inversa matricei $A(0)$.

**2.** Pe mulțimea $M=[0,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x * y=\dfrac{x^2+y^2+x+y}{x+y+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $1 * 2=2$.

**5p** **b)** Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$”.

**5p** **c)** Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale pentru care $m * n=5$.

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x+6) \sqrt{x^2+4}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\dfrac{2\left(x^2+3 x+2\right)}{\sqrt{x^2+4}}, x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că ecuația $f(x)=m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $m$.

***

Simulare

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x+1}{e^x}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^4 e^x f(x) dx = 12$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) dx = \frac{2e-3}{e}$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural $n$, $n \ge 2$, se consideră numărul $I_n = \int\limits_0^1 \frac{x^{n-1}}{f\left(x^n\right)} dx$. Demonstrați că

$\frac{\ln 2}{n} \le I_n \le \frac{e-1}{n}$, pentru orice număr natural $n$, $n \ge 2$.

***

Simulare