**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Simulare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $\left( 3 + \lg \frac{1}{10} \right) \cdot \lg \sqrt{10} = 2 \cdot \lg \sqrt{10} =$ **3p**

$= 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ **2p**

**2.** $f(1) = a$, $(f \circ f)(1) = 2a^2 - 1$ **2p**

$2a^2 - 1 = 1$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 1$ **3p**

**3.** $2^{x+1} \cdot 2^{3x} = 32$, deci $2^{4x+1} = 2^5$, de unde obținem $4x + 1 = 5$ **3p**

$x = 1$ **2p**

**4.** Mulțimea numerelor naturale de două cifre are $90$ de elemente, deci sunt $90$ de cazuri posibile **2p**

Cum $110 \le n + 100 \le 199$ și $n + 100$ este pătratul unui număr natural, obținem $4$ numere: $21$, $44$, $69$ și $96$, deci $p = \frac{4}{90} = \frac{2}{45}$ **3p**

**5.** $\vec{OD} = \frac{1}{2} \left( 3\vec{i} + 2\vec{j} + 3\vec{i} - 2\vec{j} \right) = 3\vec{i}$ **3p**

Coordonatele punctului $D$ sunt $x_D = 3$ și $y_D = 0$ **2p**

**6.** $\text{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ **3p**

$E\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(0) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(0)) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - (-1) = 1$ **3p**

**b)** $A(x) \cdot A(x) = \begin{pmatrix} 2 + x^2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & -x \\ 0 & -x & x^2 + 1 \end{pmatrix}$, $A(x) \cdot A(x) - I_3 = \begin{pmatrix} 1 + x^2 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -x \\ 0 & -x & x^2 \end{pmatrix}$ **3p**

$\det(A(x) \cdot A(x) - I_3) = -x^2(1 + x^2) - x^2 = -x^2(2 + x^2) \le 0$, pentru orice număr real $x$ **2p**

**c)** $X = B \cdot A(0) \cdot A(0)$ **2p**

$X = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**2.a)** $1 * 2 = \frac{1^2 + 2^2 + 1 + 2}{1 + 2 + 1} =$ **3p**

$= \frac{8}{4} = 2$ **2p**

**b)** $x * 0 = \frac{x^2 + 0^2 + x + 0}{x + 0 + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$0 * x = \frac{0^2 + x^2 + 0 + x}{0 + x + 1} = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x$, pentru orice $x \in M$, deci $e = 0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$*$” **3p**

**c)** $\frac{m^2 + n^2 + m + n}{m + n + 1} = 5$, de unde obținem $(m - 2)^2 + (n - 2)^2 = 13$ **3p**

Cum $m$ și $n$ sunt numere naturale, obținem perechile $(0, 5)$, $(4, 5)$, $(5, 0)$ și $(5, 4)$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \sqrt{x^2 + 4} + (x + 6) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 4}} =$ **3p**

$= \frac{2x^2 + 6x + 4}{\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{2(x^2 + 3x + 2)}{\sqrt{x^2 + 4}}$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2$ sau $x = -1$ **2p**

$f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (-\infty, -2] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(-\infty, -2]$, $f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [-2, -1] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[-2, -1]$ și $f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in [-1, +\infty) \Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1, +\infty)$ **3p**

**c)** $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$, $f(-2) = \sqrt{128}$, $f(-1) = \sqrt{125}$, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $f$ este continuă și $11 < \sqrt{125} < \sqrt{128} < 12$ **3p**

Cum $f$ este strict crescătoare pe $(-\infty, -2)$, $f$ este descrescătoare pe $[-2, -1]$ și $f$ este strict crescătoare pe $(-1, +\infty)$, obținem că ecuația $f(x) = m$ are soluție unică, pentru orice număr întreg $m$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^4 e^x f(x) dx = \int\limits_0^4 (x + 1) dx = \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \bigg _0^4 =$ **3p**

$= 8 + 4 = 12$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^1 f(x) dx = \int\limits_0^1 (x + 1) (-e^{-x})' dx = (x + 1) (-e^{-x}) \bigg _0^1 - \int\limits_0^1 -e^{-x} \bigg =$ **3p**

$= -\frac{2}{e} + 1 - \frac{1}{e} + 1 = \frac{2e - 3}{e}$ **2p**

**c)** $I_n = \int\limits_0^1 \frac{x^{n-1} e^{x^n}}{x^n + 1} dx = \frac{1}{n} \int\limits_0^1 \frac{(x^n)' e^{x^n}}{x^n + 1} dx = \frac{1}{n} \int\limits_0^1 \frac{e^t}{t + 1} dt$, pentru orice număr natural $n$, $n \ge 2$ **3p**

$I_n \ge \frac{1}{n} \int\limits_0^1 \frac{1}{t + 1} dt = \frac{1}{n} \ln(t + 1) \bigg _0^1 = \frac{\ln 2}{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$, $n \ge 2$ și $I_n \le \frac{1}{n} \int\limits_0^1 e^t dt = \frac{e - 1}{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$, $n \ge 2$ **2p**

***

Simulare