**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Model**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2(1-2i)+i(4+i)=1$, unde $i^2=-1$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+ax-a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(3,-3)$ aparține graficului funcției $f$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2\left(x^2+8\right)=\log_2(8-2x)$.

**5p** **4.** Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii $A=\{1,2,3,4,5\}$.

**5p** **5.** În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $AB=5$, $C=\frac{\pi}{4}$ și înălțimea $AD=4$. Arătați că $BC=7$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a & -1 & a \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1))=1$.

**5p** **b)** Arătați că $A(a) \cdot A(b)=A(a)-A(b)+I_3$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

**5p** **c)** Determinați matricea $X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $A(1) \cdot X \cdot A(0)=I_3$.

**2.** Pe mulțimea $M=[3,+\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y=m(x-3)(y-3)+3$, unde $m \in(0,+\infty)$.

**5p** **a)** Arătați că $3 \circ 5=3$, pentru orice $m \in(0,+\infty)$.

**5p** **b)** Pentru $m=2$, arătați că $e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

**5p** **c)** Se consideră funcția $f: M \rightarrow M$, $f(x)=3+\sqrt{x-3}$. Pentru $m=1$, arătați că $f(x \circ y)=f(x) \circ f(y)$, pentru orice $x, y \in M$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=x-\frac{e^{-x}}{x-1}$.

**5p** **a)** Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)^2+x e^{-x}}{(x-1)^2}$, $x \in(1,+\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

***

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_{1}^{3} f(x)\left(x^{2}+1\right)^{2} d x=4$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{4}$.

**5p** **c)** Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int\limits_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x f(x)} d x$. Arătați că

$I_{n}-I_{n+4}=\frac{2}{(n+2)(n+4)}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

Model