**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Model**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $2(1-2i)+i(4+i)=2-4i+4i+i^2=$ **3p**

$=2+(-1)=1$ **2p**

**2.** $f(3)=-3 \Rightarrow 9+3a-a=-3$ **3p**

$a=-6$ **2p**

**3.** $x^2+8=8-2x$, de unde obținem $x^2+2x=0$ **3p**

$x=-2$ sau $x=0$, care convin **2p**

**4.** Cifra zecilor se poate alege în $2$ moduri **2p**

Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte $4$ moduri, deci se pot forma $2 \cdot 4 = 8$ numere **3p**

**5.** $\vec{OA}=3\vec{j}$, $\vec{OB}=4\vec{i}$ **2p**

$\vec{OC}=4\vec{i}+3\vec{j}$, deci punctul $C$ are coordonatele $(4,3)$ **3p**

**6.** $DC=4$ **2p**

$BD=3$, deci $BC=BD+DC=3+4=7$ **3p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} =$ **2p**

$=0+0+0-(-1)-0-0=1$ **3p**

**b)** $A(a) \cdot A(b) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -b+a & 1 & a-b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a-b & 0 & a-b \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = A(a) - A(b) + I_3$, pentru orice numere reale $a$ și $b$ **2p**

**c)** $(A(1))^{-1} = A(1)$, $(A(0))^{-1} = A(0)$ **2p**

$X = (A(1))^{-1} \cdot (A(0))^{-1}$, de unde obținem $X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ **3p**

**2.a)** $3 \circ 5 = m(3-3)(5-3)+3 =$ **3p**

$= m \cdot 0 \cdot 2 + 3 = 3$, pentru orice $m \in (0, +\infty)$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

Model

**b)** $x \circ \frac{7}{2} = 2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3 = x-3+3 = x$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$\frac{7}{2} \circ x = 2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3 = x-3+3 = x$, pentru orice $x \in M$, deci $e = \frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$” **3p**

**c)** $f(x \circ y) = 3 + \sqrt{(x-3)(y-3)+3-3} = 3 + \sqrt{(x-3)(y-3)} =$ **2p**

$= 3 + \left(3 + \sqrt{x-3}-3\right)\left(3 + \sqrt{y-3}-3\right) = (f(x)-3)(f(y)-3)+3 = f(x) \circ f(y)$, pentru orice $x, y \in M$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = 1 - \frac{-e^{-x}(x-1)-e^{-x}}{(x-1)^2} =$ **3p**

$= 1 + \frac{xe^{-x}}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 + xe^{-x}}{(x-1)^2}$, $x \in (1, +\infty)$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(1 - \frac{e^{-x}}{x(x-1)}\right) = 1$ **3p**

$\lim_{x \to +\infty} (f(x)-x) = \lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{e^{-x}}{x-1}\right) = 0$, deci dreapta de ecuație $y=x$ este asimptota oblică spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x) > 0$, pentru orice $x \in (1, +\infty) \Rightarrow f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$, deci $f$ este injectivă **2p**

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1} f(x) = -\infty$ și $f$ este continuă, deci $f$ este surjectivă, de unde obținem că $f$ este bijectivă **3p**

**2.a)** $\int_1^3 f(x)\left(x^2+1\right)^2 dx = \int_1^3 x dx = \frac{x^2}{2} \bigg _1^3 =$ **3p**

$= \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{x}{\left(x^2+1\right)^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\left(x^2+1\right)'}{\left(x^2+1\right)^2} dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \bigg _0^1 =$ **3p**

$= -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ **2p**

**c)** $I_n = \int_0^1 x^n \sqrt{xf(x)} \, dx = \int_0^1 \frac{x^{n+1}}{x^2+1} dx$, pentru orice număr natural nenul $n$ **2p**

$I_n - I_{n+4} = \int_0^1 \frac{x^{n+1}\left(1-x^4\right)}{x^2+1} dx = \int_0^1 x^{n+1}\left(1-x^2\right) dx = \frac{x^{n+2}}{n+2} \bigg _0^1 - \frac{x^{n+4}}{n+4} \bigg _0^1 = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+4} =$

$= \frac{2}{(n+2)(n+4)}$, pentru orice număr natural nenul $n$ **3p**

***