**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 10**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $\frac{12}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = 2$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 5x + 1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = 6$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4x + 1} = 3$.

**5p** **4.** Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A = \{10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90\}$, acesta să fie divizibil cu $20$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(8,8)$ și $C(11,4)$. Arătați că $AB = 2BC$.

**5p** **6.** Arătați că $1 + \sin 30^\circ = 2 \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x) = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(1)) = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $A(2) + A(0) = 2A(1)$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det(A(x) + xI_2) = 2$.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2(x + y) - xy - 4$.

**5p** **a)** Arătați că $1 \circ 3 = 1$.

**5p** **b)** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n \circ n \ge n - 2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{2(1 - x)}{x^3}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle\int\limits_0^1 (x^2 + x + 1) f(x) \, dx = 2$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle\int\limits_0^1 f(x) \, dx = \ln 3$.

**5p** **c)** Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $g(x) = e^x (x^2 + x + 1) f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x = 0$ și $x = 1$ are aria egală cu $e + 1$.

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*