**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 10**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** $\frac{12}{5} \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = \frac{12}{5} \cdot \left( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \right) =$ **2p**

$= \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = 2$ **3p**

**2.** $f(a) = 5a + 1$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$5a + 1 = 6$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**3.** $4x + 1 = 9$, de unde obținem $4x = 8$ **3p**

$x = 2$, care convine **2p**

**4.** Mulțimea $A$ are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile **2p**

Numerele din mulțimea $A$ care sunt divizibile cu 20 sunt 20, 40, 60 și 80, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{4}{9}$ **3p**

**5.** $BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ **2p**

$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$, deci $AB = 2BC$ **3p**

**6.** $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **3p**

$1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $2 \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-2) \cdot 0 =$ **3p**

$= 2 - 0 = 2$ **2p**

**b)** $A(2) + A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & 4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} = 2A(1)$ **2p**

**c)** $A(x) + xI_2 = \begin{pmatrix} x & x-1 \\ -2x & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & x-1 \\ -2x & 2+x \end{pmatrix}$ și $\det(A(x) + xI_2) = 4x^2 + 2x$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$4x^2 + 2x - 2 = 0$, de unde obținem $x = -1$ sau $x = \frac{1}{2}$ **2p**

**2.a)** $1 \circ 3 = 2(1 + 3) - 1 \cdot 3 - 4 =$ **3p**

$= 8 - 3 - 4 = 1$ **2p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**b)** $y \circ x = 2(y + x) - yx - 4 =$ **2p**

$= 2(x + y) - xy - 4 = x \circ y$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **3p**

**c)** $n \circ n = 4n - n^2 - 4$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$4n - n^2 - 4 \ge n - 2 \Leftrightarrow -n^2 + 3n - 2 \ge 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 1$ și $n = 2$ **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{(2x-1)' \cdot x^2 - (2x-1) \cdot (x^2)'}{x^4} = \frac{2x^2 - 2x(2x-1)}{x^4} =$ **3p**

$= \frac{-2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{2(1-x)}{x^3}, \ x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1) = 1, \ f'(1) = 0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y - f(1) = f'(1)(x-1)$, adică $y = 1$ **3p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1; \ f'(x) \ge 0$, pentru orice $x \in (0,1] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $(0,1]$; **3p**

$f'(x) \le 0$, pentru orice $x \in [1, +\infty) \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1, +\infty)$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_0^1 (x^2 + x + 1) f(x) \, dx = \int\limits_0^1 (x^2 + x + 1) \cdot \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} \, dx = \int\limits_0^1 (2x+1) \, dx = (x^2 + x) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 + 1 - 0 - 0 = 2$ **2p**

**b)** $\int\limits_0^1 f(x) \, dx = \int\limits_0^1 \frac{2x+1}{x^2 + x + 1} \, dx = \int\limits_0^1 \frac{(x^2 + x + 1)'}{x^2 + x + 1} \, dx = \ln(x^2 + x + 1) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$ **2p**

**c)** $g(x) = e^x(2x+1), \ x \in \mathbb{R}$, deci $\mathcal{A} = \int\limits_0^1 g(x) dx = \int\limits_0^1 e^x(2x+1) dx = e^x(2x+1) \bigg _0^1 - \int\limits_0^1 2e^x dx =$ **3p**

$= e^x(2x+1) \bigg _0^1 - 2e^x \bigg _0^1 = 3e - 1 - 2e + 2 = e + 1$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale