**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_st-nat$**

**Varianta 10**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Determinați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, în care $a_2 = 8$ și $a_3 = 12$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 2$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m) = m$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_6(9 - x^2) = \log_6 5$.

**5p** **4.** Se consideră mulțimea $A = \{0, 1, 2, \dots, 9\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A$, numărul $\sqrt{2n+1}$ să aparțină mulțimii $A$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,0)$, $B(4,4)$ și $C(5,2)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$.

**5p** **6.** Se consideră expresia $E(x) = 2\sin x \cdot \cos \frac{x}{2} + \left( \sin \frac{3x}{4} \right)^2$. Arătați că $E\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ și $B(a) = \begin{pmatrix} a & a+1 \\ a-3 & 4a-1 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(B(1)) = 7$.

**5p** **b)** Arătați că $B(2) - B(0) \cdot B(1) = 4A$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ pentru care matricea $C(a) = B(a) - aA$ **nu** este inversabilă.

**2.** Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy - 2x - 3y + 6$.

**5p** **a)** Arătați că $2 * 2 = 0$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 6 = x$.

**5p** **c)** Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x * (2 * x) \ge 2$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{2x}{x^2 + x + 4}$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \frac{2(4 - x^2)}{(x^2 + x + 4)^2}$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Arătați că $f(x) - f(4-x) \le 1$, pentru orice $x \in [4, +\infty)$.

**2.** Se consideră funcția $f: (-1, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{x+3}{x+1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int\limits_0^2 (x+1) f(x) dx = 8$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_0^1 f(x) dx = 1 + 2\ln 2$.

**5p** **c)** Determinați numărul real $a$ pentru care $\int\limits_1^2 (x^2 - 1) e^x f(x) dx = e(e + a)$.

***