**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_șt-nat$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 10**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** Rația progresiei este $r = a_3 - a_2 = 4$ **3p**

$a_1 = a_2 - r = 4$ **2p**

**2.** $f(m) = 3m - 2$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$3m - 2 = m$, de unde obținem $m = 1$ **3p**

**3.** $9 - x^2 = 5$, de unde obținem $x^2 - 4 = 0$ **2p**

$x = -2$ sau $x = 2$, care convin **3p**

**4.** Mulțimea $A$ are $10$ elemente, deci sunt $10$ cazuri posibile **2p**

Numerele $n$ din mulțimea $A$ pentru care $\sqrt{2n+1}$ aparține mulțimii $A$ sunt $0$ și $4$, deci sunt $2$ cazuri favorabile, de unde obținem $p = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ **3p**

**5.** $m_{AC} = \frac{1}{2}$ **2p**

$m_{BC} = -2 \Rightarrow m_{AC} \cdot m_{BC} = -1$, deci triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $C$ **3p**

**6.** $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ **3p**

$E\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{4} = 2$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $B(1) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(B(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 3 - 2 \cdot (-2) =$ **3p**

$= 3 + 4 = 7$ **2p**

**b)** $B(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -3 & -1 \end{pmatrix}$, $B(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ -1 & -9 \end{pmatrix}$ **3p**

$B(2) - B(0) \cdot B(1) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} = 4A$ **2p**

**c)** $C(a) = \begin{pmatrix} 0 & a+1 \\ a-3 & -1 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(C(a)) = -(a-3)(a+1)$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$\det(C(a)) = 0$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 3$ **2p**

**2.a)** $2 * 2 = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 6 =$ **3p**

$= 4 - 4 - 6 + 6 = 0$ **2p**

**b)** $x * 6 = 4x - 12$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$4x - 12 = x$, de unde obținem $x = 4$ **2p**

**c)** $2 * x = 2 - x$, $x * (2 * x) = -x^2 + 3x$, pentru orice număr real $x$ **2p**

$-x^2 + 3x \ge 2 \Leftrightarrow -x^2 + 3x - 2 \ge 0$, de unde obținem $x \in [1, 2]$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = \frac{2\left(x^2+x+4\right) - 2x(2x+1)}{\left(x^2+x+4\right)^2} =$ **3p**

$= \frac{8-2x^2}{\left(x^2+x+4\right)^2} = \frac{2\left(4-x^2\right)}{\left(x^2+x+4\right)^2}, \ x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x^2+x+4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)} = 0$ **3p**

Dreapta de ecuație $y=0$ este asimptota orizontală spre $+\infty$ la graficul funcției $f$ **2p**

**c)** $f'(x)=0 \Rightarrow x=-2$ sau $x=2$; pentru orice $x \in (-\infty, -2]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty, -2]$; pentru orice $x \in [-2, 2]$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare pe $[-2, 2]$; pentru orice $x \in [2, +\infty)$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare pe $[2, +\infty)$ **2p**

$x \in [4, +\infty) \Rightarrow 4-x \in (-\infty, 0]$, deci $f(x) \le f(4)$ și $f(4-x) \ge f(-2)$ și, cum $f(-2) = -\frac{2}{3}$ și $f(4) = \frac{1}{3}$, obținem $f(x) - f(4-x) \le 1$, pentru orice $x \in [4, +\infty)$ **3p**

**2.a)** $\int_0^2 (x+1)f(x)dx = \int_0^2 (x+3)dx = \left( \frac{x^2}{2} + 3x \right) \bigg _0^2 =$ **3p**

$= 2+6 = 8$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x)dx = \int_0^1 \frac{x+3}{x+1}dx = \int_0^1 \left( 1 + \frac{2}{x+1} \right)dx = x \bigg _0^1 + 2\ln(x+1) \bigg _0^1 =$ **3p**

$= 1 + 2\ln 2 - 2\ln 1 = 1 + 2\ln 2$ **2p**

**c)** $\int_1^2 (x^2-1)e^x f(x)dx = \int_1^2 (x^2+2x-3)e^x dx = (x^2-3)e^x \bigg _1^2 = e^2 + 2e$ **3p**

$e(e+a) = e^2 + 2e$, de unde obținem $a=2$ **2p**

***