**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică *M_pedagogic***

**Varianta 10**

*Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Se consideră progresia geometrică $(b_n)_{n \ge 1}$ cu $b_1 = 4$ și $b_2 = 8$. Calculați $b_3$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 7x + 2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) = 9$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(2x + 3) = \log_2(3x + 1)$.

**5p** **4.** După o scumpire cu $25\%$, prețul unui obiect a crescut cu $50$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(8,4)$ și $C(4,0)$. Demonstrați că $BM = CM$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB = 12$ și $BC = 13$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $30$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Pe mulțimea $M = (0, +\infty)$ se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1$.

**5p** **1.** Arătați că $1 \circ 1 = 3$.

**5p** **2.** Determinați $x \in M$ pentru care $x \circ x = 2$.

**5p** **3.** Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă.

**5p** **4.** Determinați $x \in M$ pentru care $x \circ \frac{1}{x} = 3$.

**5p** **5.** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $(n+1) \circ (n+1)$ este număr natural.

**5p** **6.** Determinați $x \in (1, +\infty)$ pentru care $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \frac{7}{2}$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **1.** Arătați că $\det(A(6)) = -4$.

**5p** **2.** Arătați că $A(3) \cdot A(1) = 19I_2$.

**5p** **3.** Demonstrați că $A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **4.** Determinați numărul real $a$ pentru care $\det(A(a)) = -20$.

**5p** **5.** Determinați numerele reale $a$ pentru care $A(a^2) - A(a) = 2I_2$.

**5p** **6.** Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-1) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix}$.

***

Varianta 10

*Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare*