**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_pedagogic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 10**

**Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

**SUBIECTUL I (30 de puncte)**

**1.** Rația progresiei este $q = \frac{b_2}{b_1} = 2$ **3p**

$b_3 = b_2 \cdot q = 16$ **2p**

**2.** $f(a) = 7a + 2$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$7a + 2 = 9$, de unde obținem $a = 1$ **3p**

**3.** $2x + 3 = 3x + 1$ **3p**

$x = 2$, care convine **2p**

**4.** $\frac{25}{100} \cdot x = 50$, unde $x$ este prețul obiectului înainte de scumpire **3p**

$x = 200$ de lei **2p**

**5.** $M(4,4)$ **2p**

$BM = 4$, $CM = 4$, deci $BM = CM$ **3p**

**6.** $AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = 5$ **3p**

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = 30$ **2p**

**SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)**

**1.** $1 \circ 1 = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + 1 =$ **3p**

$= 1 + 1 + 1 = 3$ **2p**

**2.** $x \circ x = \frac{2}{x} + 1$, pentru orice $x \in M$ **3p**

$\frac{2}{x} + 1 = 2$, de unde obținem $x = 2$, care convine **2p**

**3.** $y \circ x = \frac{1}{y} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + 1 =$ **3p**

$= x \circ y$, pentru orice $x \in M$ și $y \in M$, deci legea de compoziție „$\circ$” este comutativă **2p**

**4.** $x \circ \frac{1}{x} = \frac{x^2 + x + 1}{x}$, pentru orice $x \in M$ **2p**

$\frac{x^2 + x + 1}{x} = 3$, deci $x^2 - 2x + 1 = 0$, de unde obținem $x = 1$, care convine **3p**

**5.** $(n+1) \circ (n+1) = \frac{2}{n+1} + 1$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$(n+1) \circ (n+1)$ este număr natural dacă $n+1$ este divizor natural al lui $2$, de unde obținem $n = 0$ și $n = 1$, care convin **3p**

Barem de evaluare și de notare

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare

**6.** $(\log_2 x) \circ (\log_x 2) = \frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_x 2} + 1$, pentru orice $x \in (1, +\infty)$ **2p**

$\frac{1}{\log_2 x} + \frac{1}{\log_x 2} + 1 = \frac{7}{2}$ și, cum $\frac{1}{\log_x 2} = \log_2 x$, obținem $\log_2 x = 2$ sau $\log_2 x = \frac{1}{2}$, de unde rezultă $x = 4$ sau $x = \sqrt{2}$, care convin **3p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.** $A(6) = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(6)) = \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 8 \cdot 0 - 2 \cdot 2 =$ **3p**

$= 0 - 4 = -4$ **2p**

**2.** $A(3) \cdot A(1) = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 0 \\ 0 & 19 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 19 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 19I_2$ **2p**

**3.** $A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a+2 & 2 \\ 2 & -a-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & -12 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**4.** $\det(A(a)) = \begin{vmatrix} a+2 & 2 \\ 2 & a-6 \end{vmatrix} = a^2 - 4a - 16$, pentru orice număr real $a$ **3p**

$a^2 - 4a - 16 = -20$, de unde obținem $a = 2$ **2p**

**5.** $A(a^2) - A(a) = \begin{pmatrix} a^2 - a & 0 \\ 0 & a^2 - a \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $a$ **2p**

$\begin{pmatrix} a^2 - a & 0 \\ 0 & a^2 - a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, de unde obținem $a = -1$ sau $a = 2$ **3p**

**6.** $A(-1) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x - 7y \end{pmatrix}$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale **2p**

$\begin{pmatrix} x + 2y \\ 2x - 7y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 9 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = 1$ și $y = -1$ **3p**

***

Filiera vocațională: profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare