**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**Varianta 10**

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Arătați că $2 \lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 5$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x - 6$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a) + f(3a) = 0$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{3x} \cdot 5^2 = 5^x$.

**5p** **4.** Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea $A = \{1, 2, 4, 6, 8, 9\}$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(3,0)$. Determinați coordonatele punctului $C$ pentru care $\vec{AC} = \vec{OB}$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu aria egală cu $18$ și $B = \frac{\pi}{4}$. Arătați că $AB = 6$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricea $M(x) = \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x+2 & x \\ 0 & 2x & x+2 \end{pmatrix}$, unde $x$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(M(1)) = 7$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $x$ pentru care $M(x) \cdot M(2) = M(x-1)$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 \det(M(n)) \le \det(M(2n))$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 - 2X^2 - aX + 2a$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(2) = 0$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **b)** Pentru $a = 1$, arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$.

**5p** **c)** Determinați $a \in (0, +\infty)$ pentru care $ x_1 + x_2 + x_3 = 8$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x(2x-4) + x^2 - 2x + 4$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = 2(x-1)(e^x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$.

**5p** **b)** Arătați că $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - e^x} = 4$.

**5p** **c)** Arătați că ecuația $f(x) = 0$ are exact două soluții.

**2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{4x}{3x^2 + 1}$.

**5p** **a)** Arătați că $\int_3^4 f(x)(3x^2 + 1) dx = 14$.

**5p** **b)** Arătați că $\int\limits_{0}^{1} f(x) dx = \frac{4}{3} \ln 2$.

: :

**5p** **c)** Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $g(x) = \frac{4 \ln x}{f(x)}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=e$ este egală cu $\frac{3e^2 + 5}{4}$.

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>

<br>