**Examenul național de bacalaureat 2024**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_mate-info$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 10**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $2\lg 100 + \lg 2 + \lg 5 = 2 \cdot 2 + \lg 10 =$ **3p**

$= 4 + 1 = 5$ **2p**

**2.** $f(a) = a - 6$, $f(3a) = 3a - 6$ **3p**

$a - 6 + 3a - 6 = 0$, de unde obținem $a = 3$ **2p**

**3.** $5^{3x+2} = 5^x$, de unde obținem $3x + 2 = x$ **3p**

$x = -1$ **2p**

**4.** În mulțimea $A$ sunt 4 numere pare **2p**

Sunt $C_4^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6$ submulțimi cu două elemente, ambele numere pare **3p**

**5.** $\vec{AC} = (x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j}$, $\vec{OB} = 3\vec{i}$ **3p**

$(x_C - 3)\vec{i} + (y_C - 1)\vec{j} = 3\vec{i}$, de unde obținem $x_C = 6$ și $y_C = 1$ **2p**

**6.** $AB = AC$ **2p**

$\frac{AB \cdot AB}{2} = 18$, deci $AB^2 = 36$, de unde obținem $AB = 6$ **3p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $M(1) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(M(1)) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} =$ **2p**

$= 9 + 0 + 0 - 0 - 0 - 2 = 7$ **3p**

**b)** $M(2) = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \end{pmatrix}$, $M(x) \cdot M(2) = \begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 8x + 8 & 6x + 4 \\ 0 & 12x + 8 & 8x + 8 \end{pmatrix}$, pentru orice număr real $x$ **3p**

$\begin{pmatrix} 2x & 0 & 0 \\ 0 & 8x + 8 & 6x + 4 \\ 0 & 12x + 8 & 8x + 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x - 1 & 0 & 0 \\ 0 & x + 1 & x - 1 \\ 0 & 2x - 2 & x + 1 \end{pmatrix}$, de unde obținem $x = -1$ **2p**

**c)** $\det(M(n)) = n(-n^2 + 4n + 4)$, $\det(M(2n)) = 2n(-4n^2 + 8n + 4)$, pentru orice număr natural $n$ **2p**

$2n(-n^2 + 4n + 4) \le 2n(-4n^2 + 8n + 4)$, de unde obținem $n^2(3n - 4) \le 0$ și, cum $n$ este număr natural, obținem $n = 0$ și $n = 1$ **3p**

**2.a)** $f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 - a \cdot 2 + 2a =$ **3p**

$= 8 - 8 - 2a + 2a = 0$, pentru orice număr real $a$ **2p**

Barem de evaluare și de notare

**b)** $f = X^3 - 2X^2 - X + 2 \Rightarrow f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - (-1) + 2 =$ **3p**

$= -1 - 2 + 1 + 2 = 0$, deci polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $g = X + 1$ **2p**

**c)** $f = (X - 2)(X^2 - a)$; $x_1 = 2$ și $ x_2 = x_3 = \sqrt{a}$, deci $ x_1 + x_2 + x_3 = 2 + 2\sqrt{a}$ **3p**

$2 + 2\sqrt{a} = 8$, de unde obținem $a = 9$ **2p**

**SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)**

**1.a)** $f'(x) = e^x(2x - 4) + 2e^x + 2x - 2 =$ **3p**

$= e^x(2x - 2) + 2x - 2 = 2(x - 1)(e^x + 1)$, $x \in \mathbb{R}$ **2p**

**b)** Cum $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$, rezultă $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{1 - e^x} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{(1 - e^x)'} =$ **3p**

$= \lim_{x \to 0} \frac{2(x - 1)(e^x + 1)}{-e^x} = 4$ **2p**

**c)** $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1$; pentru orice $x \in (-\infty, 1)$, $f'(x) < 0$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 1)$ și, pentru orice $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, deci $f$ este strict crescătoare pe $(1, +\infty)$ **2p**

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$, $f(1) = 3 - 2e < 0$, $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ și $f$ este continuă, deci ecuația $f(x) = 0$ are exact două soluții **3p**

**2.a)** $\int_3^4 f(x)(3x^2 + 1) dx = \int_3^4 4x dx = 2x^2 \Big _3^4 =$ **3p**

$= 32 - 18 = 14$ **2p**

**b)** $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{4x}{3x^2 + 1} dx = \frac{2}{3} \int_0^1 \frac{(3x^2 + 1)'}{3x^2 + 1} dx = \frac{2}{3} \ln(3x^2 + 1) \Big _0^1 =$ **3p**

$= \frac{2}{3} \ln 4 - \frac{2}{3} \ln 1 = \frac{4}{3} \ln 2$ **2p**

**c)** $g(x) = \frac{(3x^2 + 1) \ln x}{x}$, $x \in (0, +\infty)$, deci $\mathcal{A} = \int_1^e g(x) dx = \int_1^e \left( 3x + \frac{1}{x} \right) \ln x dx = \int_1^e \left( \frac{3x^2}{2} \right)' \ln x dx +$ **3p**

$+ \frac{\ln^2 x}{2} \Big _1^e =$

$= 3 \left( \frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} \right) \Big _1^e + \frac{1}{2} = \frac{3e^2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3e^2 + 5}{4}$ **2p**

***