**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**Varianta 6**

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*

* **Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.**

* **Timpul de lucru efectiv este de trei ore.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**5p** **1.** Calculați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1 = 10$ și $a_2 = 20$.

**5p** **2.** Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x + 4$. Arătați că $f(0) + f(1) = 10$.

**5p** **3.** Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_2(x - 4) = \log_2 4$.

**5p** **4.** Un produs costă $80$ de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu $20\%$.

**5p** **5.** În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,2)$ și $N(3,6)$. Arătați că distanța dintre punctele $M$ și $N$ este egală cu $5$.

**5p** **6.** Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB = 4$ și măsura unghiului $C$ egală cu $45^\circ$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8$.

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră matricele $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} a & a+3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $a$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $\det(A(2)) = 9$.

**5p** **b)** Arătați că $A(a) + A(-a) = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

**5p** **c)** Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det(A(a) \cdot A(-1) - aI_2) = 0$.

**2.** Se consideră polinomul $f = X^3 + 3X^2 + mX - 4$, unde $m$ este număr real.

**5p** **a)** Arătați că $f(0) = -4$, pentru orice număr real $m$.

**5p** **b)** Determinați numărul real $m$, știind că $-1$ este rădăcină a polinomului $f$.

**5p** **c)** Determinați numerele naturale $m$ pentru care $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 > 5$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.** Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 3x + 4 + \ln x$.

**5p** **a)** Arătați că $f'(x) = \dfrac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$.

**5p** **b)** Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

**5p** **c)** Demonstrați că $f(x) \le \dfrac{11}{4} - \ln 2$, pentru orice $x \in (0, 1]$.

**2.** Se consideră funcția $f: \left( -\dfrac{3}{2}, +\infty \right) \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + \dfrac{6}{2x+3}$.

**5p** **a)** Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \left( f(x) - \dfrac{6}{2x+3} \right) dx = e(e^2 - 1)$.

**5p** **b)** Arătați că $\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x) - e^x) dx = 3 \ln 3$.

**5p** **c)** Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g: \left( -\dfrac{3}{2}, +\infty \right) \to \mathbb{R}$, $g(x) = (2x^2 + 3x)f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $2(e+1)$.

***

*Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale*