**Examenul național de bacalaureat 2023**

**Proba E. c)**

**Matematică $M\_tehnologic$**

**BAREM DE EVALUARE ȘI DE NOTARE**

**Varianta 6**

**Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale**

* **Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.**

* **Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.**

* **Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.**

### SUBIECTUL I (30 de puncte)

**1.** $r = a_2 - a_1 = 10$, unde $r$ este rația progresiei aritmetice **2p**

$a_3 = a_2 + r = 20 + 10 = 30$ **3p**

**2.** $f(0) = 4$ **2p**

$f(1) = 6 \Rightarrow f(0) + f(1) = 4 + 6 = 10$ **3p**

**3.** $x - 4 = 4$ **3p**

$x = 8$, care convine **2p**

**4.** $\frac{20}{100} \cdot 80 = 16$ lei **2p**

Prețul după ieftinire este $80 - 16 = 64$ de lei **3p**

**5.** $MN = \sqrt{9 + 16} =$ **3p**

$= \sqrt{25} = 5$ **2p**

**6.** $AC = 4$ **3p**

$\mathcal{A}_{\Delta ABC} = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8$ **2p**

### SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

**1.a)** $A(2) = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A(2)) = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 5 \cdot (-1) =$ **3p**

$= 4 + 5 = 9$ **2p**

**b)** $A(a) + A(-a) = \begin{pmatrix} a & a + 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a & -a + 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 6 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} =$ **3p**

$= 2 \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 2A(0)$, pentru orice număr real $a$ **2p**

**c)** $A(a) \cdot A(-1) = \begin{pmatrix} -2a - 3 & 4a + 6 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow A(a) \cdot A(-1) - aI_2 = \begin{pmatrix} -3a - 3 & 4a + 6 \\ -1 & 2 - a \end{pmatrix}$, de unde obținem **3p**

$\det(A(a) \cdot A(-1) - aI_2) = 3a^2 + a$, pentru orice număr real $a$

$3a^2 + a = 0$, de unde obținem $a = -\frac{1}{3}$ sau $a = 0$ **2p**

**2.a)** $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 + m \cdot 0 - 4 =$ **3p**

$= 0 + 0 + 0 - 4 = -4$, pentru orice număr real $m$ **2p**

**b)** $f(-1) = -m - 2$, pentru orice număr real $m$ **2p**

$f(-1) = 0$, de unde obținem $m = -2$ **3p**

***

Barem de evaluare și de notare

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

**c)** $x_1+x_2+x_3=-3$, $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=m$, $x_1^2+x_2^2+x_3^2=9-2m$, pentru orice număr natural $m$ **3p**

$9-2m > 5$ și, cum $m$ este număr natural, obținem $m=0$ sau $m=1$ **2p**

### SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

**1.a)** $f'(x)=2x-3+\frac{1}{x}=$ **3p**

$=\frac{2x^2-3x+1}{x}=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $x \in (0, +\infty)$ **2p**

**b)** $f(1)=2$, $f'(1)=0$ **2p**

Ecuația tangentei este $y-f(1)=f'(1)(x-1)$, adică $y=2$ **3p**

**c)** $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ sau $x=1$; $f'(x) \geq 0$, pentru orice $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right] \Rightarrow f$ este crescătoare pe $\left(0, \frac{1}{2}\right]$ și $f'(x) \leq 0$, pentru orice $x \in \left[\frac{1}{2}, 1\right] \Rightarrow f$ este descrescătoare pe $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$ **3p**

$f(x) \leq f\left(\frac{1}{2}\right)$, pentru orice $x \in (0, 1]$ și, cum $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{11}{4}-\ln 2$, obținem $f(x) \leq \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $x \in (0, 1]$ **2p**

**2.a)** $\int\limits_1^3 \left(f(x)-\frac{6}{2x+3}\right) dx = \int\limits_1^3 e^x \ dx = e^x \bigg _1^3 =$ **3p**

$=e^3-e=e(e^2-1)$ **2p**

**b)** $\int\limits_{-1}^0 (f(x)-e^x) dx = \int\limits_{-1}^0 \frac{6}{2x+3} dx = 3 \int\limits_{-1}^0 \frac{(2x+3)'}{2x+3} dx = 3 \ln(2x+3) \bigg _{-1}^0 =$ **3p**

$=3(\ln 3 - \ln 1) = 3 \ln 3$ **2p**

**c)** $g(x) = (2x^2+3x)e^x+6x$, $x \in \left(-\frac{3}{2}, +\infty\right)$, deci $\mathcal{A} = \int\limits_0^1 g(x) dx = \int\limits_0^1 ((2x^2+3x)e^x+6x) dx =$ **3p**

$=(2x^2+3x)e^x \bigg _0^1 - (4x+3)e^x \bigg _0^1 + 4e^x \bigg _0^1 + 3x^2 \bigg _0^1 =$

$=5e-7e+3+4e-4+3=2e+2=2(e+1)$ **2p**

***

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale